Чисельні методи розв’язання систем лінійних рівнянь, сторінка 7

Розв'язання цієї системи рівнянь:

, .

.

Вектор b змінився незначно, а вектор змінився значно. З чим це пов'язано? Це з властивостями матриці А.

Визначення.Матриця А системи лінійних рівнянь називається погано обумовленою, якщо малі зміни у векторі b призводять до великих відхилень у рішенні x, тобто:

, ,

, але.

Вирішення системи лінійних рівнянь з погано обумовленою матрицею - це рішення некоректно поставленого завдання.

Зазначимо, що погана обумовленість - це властивість матриці і, природно, воно позначається при чисельному розв'язанні лінійних систем рівнянь. Точне рішення є нестійким, отже, і чисельне рішення буде нестійким. Для чисельного розв'язання таких завдань використовують спеціальні методи, що враховують некоректність завдання.

Існує характеристика матриці А, звана числом обумовленості , яка вказує, є матрицяпогано обумовленоючи ні.

Тобто для кожної матриці до розв'язання системи лінійних рівнянь ми можемо обчислити число, яке називається числом обумовленості і позначаєтьсяcond(A) і визначити, добре обумовлена ​​матриця чи ні. Якщоcond(A) > 1000 то матриця вважається погано обумовленою.

Як знайтиcond(A)? Для обчислення використовуються значення власних чисел матриці А.

Нагадаємо визначення власного числа та власного вектора матриці А.

Визначення. Число l називається власним числом квадратної матриці А, якщо існує ненульовий вектор x, такий що

.

Нагадаємо деякі властивості власних чисел матриці.

У симетричної матриці всевласні числа речові, і тоді, коли , у симетричної, позитивно певної матриці все власні числа більше нуля.

Матриця називається позитивно визначеною, якщо для будь-якого ненульового вектора справедливо: , де () – скалярний добуток векторів a та b.

Визначення. Якщо А – симетрична позитивно певна матриця, то число обумовленості дорівнює:

, де - максимальне власне число матриці А; - Мінімальне власне число матриці А.

Обговоримо це визначення. Так як А - симетрична і позитивно визначена матриця, то , отже, , отже,

і

Дамо визначення для довільної квадратної матриці А.

Визначення. Для довільної квадратної матриці число обумовленості дорівнює:

де - сингулярні числа матриці А.

Сингулярні числа матриці А визначаються так:

, де - власні числа матриці.

Обговоримо це визначення. - Симетрична невід'ємно визначена матриця.

, Отже, все – речові числа, .

, .

Якщо А – вироджена матриця, то (оскільки ). Число обумовленості характеризує близькість А у виродженій матриці. Чим більше, тим ближче А за своїми властивостями до виродженої матриці.

Зазначимо властивість числа обумовленості:

.

Твердження. Число обумовленості матриці виконує роль множника у збільшенні відносної помилки. Зміни у правій частині системи лінійних рівнянь можуть спричинити зміни у рішенні не більше, ніж раз:

,

.

Нехай А - матриця системи лінійних рівнянь. При векторі. Знайти розв'язання системи лінійних рівнянь при і пояснити отриманий результат.

Матрицю А, вектора візьмемо зпопереднього прикладу:

, , ,

, .

, .

Малі зміни у векторі правої частини призвели до великих змін у рішенні:

, .0001 , , ,

, .

Чому це сталось? Обчислимо число обумовленості матриці А:

, А – симетрична матриця.

Необхідно визначити, чи А є позитивно визначеною. Це можна довести, використовуючи визначення позитивної визначеності, і можна скористатися наступним твердженням.

Твердження. Якщо всі головні мінори матриці А більші за нуль,то матриця А позитивно визначена.

---