Дедуктивні та індуктивні висновки - MathHelpPlanet
На цьому етапі дуже доцільно розглянути питання про те, що є міркуваннями, висновками, якими є їх структура, види та критерії правильності, які умовиводи вивчає логіка і, зокрема, математична логіка.
Висновок є логічна (розумна) операція (процедура), що полягає в отриманні нового судження (висловлювання, твердження) з одного або кількох раніше відомих суджень. Раніше відомі судження, що входять до складу висновку, називаються його посилками, а нове судження називається його наслідком (або висновком). З змістовної точки зору висновок є перехід від вже наявного (готівкового) знання до нового знання. З формальної точки зору висновок є перехід від посилок до слідства. У логіці висновок прийнято представляти у вигляді фігури, в якій посилки записані одна під одною і відокремлені горизонтальною рисою, під якою записано слідство. Міркування є послідовність висновків, причому посилками наступних висновків служать наслідки попередніх висновків даної послідовності.
Висновки діляться на дедуктивні та індуктивні. Схожим є думка про те, що дедуктивні умовиводи - це "розумів від загального до приватного", а індуктивні - "від приватного до загального". Ці " визначення " лише найзагальніших рисах характеризують, зокрема, дедуктивні умовиводи. Це одне наведене властивість ще є їм визначальним. Дедуктивний висновок, перш за все, заснований на аналізі формальної (логічної) структури посилок і наслідків, індуктивний висновок заснований на аналізі їх змісту.
Розглянемо та проаналізуємо такі приклади.
У ньому зв'язок між посилками таНаслідком носить зовсім якийсь фізичний причинно-наслідковий характер.
Найважливішим методологічним питанням, пов'язаним з дедуктивними висновками, є питання про правильність (вірності) умовиводу. Поширена помилка тут полягає в тому, що правильність висновку ототожнюється з істинністю одержуваного на підставі цього висновку висновку: умовивід вважається правильним, якщо "в результаті ми приходимо до істини". Це не так. Правильність дедуктивного висновку означає, що воно призводить до справжнього висновку не завжди, але щоразу, коли воно виходить із усіх справжніх посилок. Іншими словами, висновок вважається правильним, якщо ми, маючи посилки і наслідки цієї структури (як визначено у висновку), за умови істинності всіх посилок обов'язково будемо отримувати істинність слідства. Таким чином, щоб довести неправильність висновку, потрібно вказати таку його конкретизацію (приклад), в якій всі посилки були б істинними, а слідство було б хибним. Такий приклад називається спростовуючим (або контрприкладом).
Отже, у правильному дедуктивному висновку слідство має бути істинним за умови істинності всіх посилок. Звідси не слід робити висновок, що якщо серед посилок є хибні, то слідство має бути хибним, хоч і така ситуація можлива. Наступний приклад показує, що навіть при всіх хибних посилках правильний висновок може дати справжнє слідство.
Цей висновок правильний, оскільки заснований на схемі: (правило 6.14 ланцюгового укладання).
У разі коли серед посилок умовиводу є помилкові, говорять про наявність у висновку фактичної помилки; якщо ж неправильним є саме дедуктивний висновок, то говорять про логічну помилку.
УВисновок звернемо увагу на те, що на відміну від висловлювань (суджень), які діляться на істинні та хибні, висновки поділяються на правильні та неправильні. Ця термінологічна відмінність перестав бути випадковим. Справа в тому, що кожне висловлювання стверджує наявність чи відсутність у предметів чи явищ тих чи інших властивостей чи стосунків між ними. Тому кожне висловлювання має в якості свого "прообразу" деякі зв'язки та відносини між предметами та явищами реального світу і допускає хоча б у принципі перевірку на істинність. Саме ця обставина підкреслюють, кажучи, що цей вислів є істинним чи хибним. У той самий час у світі немає ніяких реальних процесів і явищ, які можна було б " прообразами " логічної операції переходу від одних висловлювань до іншим. Ця логічна операція є суто розумової, вона відбувається лише в нашій свідомості і навіть у принципі не допускає "перевірки на істинність". Виділення правильних висновків одна із видів пізнавальної діяльності, що з іншими видами пізнання і заснований зрештою на величезному практичному досвіді людства.
Правильні та неправильні дедуктивні умовиводи
Раніше була розроблена теорія, що дозволяє давати відповідь на запитання, чи та чи інша формула є логічним наслідком цієї сукупності формул чи ні, а також знаходити всі логічні наслідки з даних формул. Застосуємо її до міркувань, що є послідовності висловлювань (суджень), щоб визначити, правильне міркування чи ні, тобто. правильний або неправильний висновок зроблено за допомогою даного міркування з даних посилок.
Приклад 7.9. Розглянемо таку міркування: "Якщочотирикутник — паралелограм, його протилежні кути рівні. Чотирьохкутник - паралелограм. Отже, його протилежні кути рівні". Щоб відповісти на питання, чи вірна ця міркування, потрібно з'ясувати, чи буде формула алгебри висловлювань, що відображатиме структуру укладання даного міркування, логічним наслідком формул алгебри висловлювань, що відображають структури його посилок. Структура посилок, виражається структура укладання — формулою .(Легко переконатися у цьому, якщо замість пропозициональной змінної підставити у формули висловлювання "Чотирикутник — паралелограм", а замість — висловлювання: "Протилежні кути чотирикутника рівні".) Відомо (див. правило 6.8), що формула є логічним наслідком формул Тому наведене міркування є правильним, і зроблений висновок дійсно випливає з посилок.
Міркування такої форми нерідкі в математиці. Наведемо ще одну подібну міркування: "Якщо 10 ділиться на 3, то 100 ділиться на 3. 10 ділиться на 3. Отже, 100 ділиться на 3". Проведене міркування правильно, але його висновок є хибним. Ця обставина не повинна нас бентежити: адже правильне міркування призводить до істинного твердження за умови, що всі посилки міркування були істинними. У цьому випадку із двох посилок одна не є істинною.
Приклад 7.10. Розглянемо наступне міркування: "Якщо курс математичної логіки нецікавий, він корисний. Курс математичної логіки марний чи нетрудний. Курс математичної логіки важкий. Отже, цей курс цікавий " . Введемо позначення:
Тоді для відповіді на питання, чи правильно наведена міркування, потрібно з'ясувати, чи справедливе таке логічне дотримання:
Покажемо, що воно справедливе. На підставірівносильності з теореми 4.4, другу посилку можна замінити на . Далі за правилом 6.14 маємо. Потім за правилом 6.13. Остання формула, виходячи з рівносильності з теореми 4.4, пункт а), рівносильна формулі . Зрештою, залучаючи ще не використану третю посилку, отримуємо на підставі правила 6.8. Враховуючи властивість виведеності, встановлену в теоремі 6.5, пункт б), укладаємо, що логічне слідування, що розглядається, справедливе, і, таким чином, дане міркування правильно.
Звернемо особливу увагу на два типи неправильних міркувань, що найчастіше зустрічаються. Перший міркування виглядає так. Ми виходимо з деякого припущення і, правильно міркуючи, приходимо до правильного висновку. Звідси робимо висновок, що припущення правильне. З погляду математичної логіки схема цього міркування така: з істинності тверджень і робиться висновок про істинність твердження. Щоб відповісти на питання про правильність такої схеми міркувань, розглянемо два приклади міркувань, що ґрунтуються на цій схемі.
Приклад 7.11. "Якщо число натуральне, то воно раціональне. Число 17 раціональне. Отже, число 17 натуральне".
Приклад 7.12. "Якщо число натуральне, то воно раціональне. Число раціональне. Отже, число натуральне".
У кожному з цих міркувань обидві посилки є справжніми твердженнями. Але в першому випадку ми приходимо до справжнього висновку (число 17 – натуральне), а у другому – до хибного (число не натуральне). Це означає, що невірною є сама схема побудови висновку, застосована в цих прикладах. Невірність, неправомочність схеми означає, що між посилками та укладанням немає відношення логічного слідування. Тут ще раз доречно підкреслити, що правильність висновкувизначається формою умовиводу, а чи не істинністю входять до нього тверджень. Інакше висловлюючись, аналізуючи правильність міркування, пам'ятати у тому, що його правильність не збігається з істинністю отриманого укладання. Схема висновку - це і є те, що вивчає логіка, а істинність тверджень, що входять до міркування, - це прерогатива тієї науки (або практики), звідки взяті ці твердження. Розвиваючи цю думку, можна побачити, як і термін " слід " вживається у різних сенсах. Важливо розуміти суттєву різницю між слідуваннями:
Перше - твердження логіки, тобто. логічне прямування, друге — як властивість відношення порядку в якійсь числовій множині, є певне математичне прямування (тобто прямування в рамках деякої математичної теорії). Ми прийдемо до детального розгляду зв'язку в гол. 6 під час уточнення поняття докази.
Отже, неправильність розглянутої схеми міркувань призводить до того, що щодо вихідного припущення не можна дійти невтішного висновку про його істинності: воно може бути як істинним, і неістинним, причому його істинність чи хибність ніяк пов'язані з проведеним міркуванням. Той самий висновок підтверджує математична логіка: логічне слідування несправедливо, оскільки формула перестав бути тавтологією (перевірте!).
Проте міркування за вказаною схемою нерідко зустрічаються у шкільній практиці, особливо в алгебрі та тригонометрії. Так, при доказі тотожності міркування починаються саме з цього тотожності: обидві його частини перетворять так, що воно перетворюється на певну очевидну тотожність. Після цього робиться висновок у тому, що вихідне тотожність правильне. Дізнаєтесь розглянуту схему? Наприклад, при доказі тригонометричного тотожності
можна зустріти такіміркування. "Помножимо обидві його частини на . Отримаємо:
Згрупуємо складові у правій частині:
Продовжимо угруповання у правій частині:
Розділимо обидві частини на . Отримаємо: відома тотожність. Звідси робиться висновок, що вихідна тотожність доведена".
У разі правильним доказом буде проведення міркувань у зворотному напрямі, від відомого (очевидного) тотожності до вихідному, даному тотожності. Ці міркування-перетворення тут зробити можна і тим самим дійсно довести дану тотожність. Але нерідко висновок за такою неправильною схемою призводить до помилок, тобто. до помилкових тверджень. Такі міркування іноді відносять до розряду цікавої математики, де вони отримали назву "парадоксів" або "софізмів".
Приклад 7.13. Розглянемо приклад софізму. Доведемо, що . З чисел 3 і 7 віднімемо одне й те число 5. Отримаємо: . Зведемо числа -2 та 2 у квадрат. В результаті отримаємо рівні числа: і . Отже, повинні дорівнювати і вихідні числа: .
Зрозуміло, що отриманий висновок є хибним. Проаналізуємо проведене міркування, щоб виявити допущену помилку. Міркування складається з трьох кроків. Виділимо ці кроки чіткіше.
Перший крок (віднімання з цілих чисел 3 і 7 цілого числа 5). Перша посилка "Якщо і - цілі числа, то їхня різниця а - b існує і є число ціле". Друга посилка "Числа 3 і 5 (а також 7 і 5) - цілі". Висновок " Різниці і є, і " .
Цей висновок зроблено за правилом modus ponens: і тому є правильним.
Другий крок (зведення чисел –2 та 2 у квадрат). Перша посилка "Якщо число а ціле, його квадрат існує і є неотрицательным цілим числом". Друга посилка "Число -2 (а також число 2) - ціле". Висновок "Квадрати чисел -2 і 2існують, причому й”.
Висновок і тут зроблено за правилом modus ponens : , і тому і на цьому етапі міркування помилка не допущена.
Третій крок (висновок про рівність чисел 3 та 7). Перша посилка "Якщо цілі числа рівні, то рівні та його квадрати". Друга посилка "Квадрати цілих чисел -2 і 2 рівні: ". Заключение "Рівні самі числа –2 і 2, т. е. , т. е. " .
На даному етапі міркування висновок зроблено за схемою: , яка не є правильною. Отже, у цьому висновку зроблена логічна помилка, яка і привела до хибного висновку, незважаючи на те, що виходили ми з усіх справжніх посилок.
Другий поширений тип неправильних міркувань має такий вигляд. Ми виходимо з деякого неправильного припущення і, правильно міркуючи, приходимо до певного висновку. Звідси робимо висновок, що отриманий висновок є невірним. З погляду математичної логіки схема цього міркування така: з істинності тверджень і робиться висновок про істинність твердження. Наступні два приклади міркувань, що ґрунтуються на цій схемі, дозволяють відповісти на питання про її правомочність.
Приклад 7.14. "Якщо число натуральне, то воно раціональне. Число не натуральне. Отже, число не раціональне".
Приклад 7.15. "Якщо число натуральне, то воно раціональне. Число не натуральне. Отже, число не раціональне".
У кожному з цих міркувань обидві посилки є справжніми твердженнями. Але в першому випадку ми приходимо до помилкового висновку (число раціональне), а в другому до справжнього (число нераціональне). Це знову означає, що невірною є сама схема побудови висновку, застосована в цих прикладах, тобто ця схема при всіх справжніх посилках не обов'язково дає справжнє слідство. Висновок, заснований наНаприклад, підтверджується математичною логікою: з формул і слід формула , у чому неважко переконатися, перевіривши, що формула перестав бути тавтологією.