Диференціальне рівняння пружної лінії балки та його інтегрування

При згинанні вісь балки викривляється, а поперечні перерізи переміщаються поступально і повертаються навколо нейтральних осей, залишаючись при цьому нормальними до вигнутої поздовжньої осі (рис. 8.22). Деформована (вигнута) поздовжня вісь балки називається пружною лінією, а поступальні переміщення перерізів, рівні переміщеннямy=y(x)їх центрів тяжкості перерізів - прогинами балки.

пружної

Між прогинамиy(x)та кутами повороту перерізівθ(x)існує певна залежність. З рис. 8.22 видно, що кут повороту перерізуθдорівнює кутуφнахилу дотичної до пружної лінії (θіφ- кути із взаємноперпендикулярними сторонами) . Але згідно з геометричним змістом першої похідноїy/=tgθ. Отже,tgθ=tgφ=y/.

У межах пружних деформацій прогини балок зазвичай значно менші за висоту перерізуh, а кути поворотуθне перевищують 0.1 – 0.15 рад. У цьому випадку зв'язок між прогинами і кутами повороту спрощується і набуває виглядуθ=y/.

Визначимо тепер форму пружної лінії. Вплив перерізуючих силQна прогини балок, як правило, незначний. Тому з достатньою точністю можна прийняти, що при поперечному згині кривизна пружної лінії залежить тільки від величини згинального моментуMzі жорсткостіEIz(див. рівняння (8.8)):

.