Диференціальне рівняння САР та їх лінеаризація
Відомо, що будь-який рух, процеси передачі, обміну, перетворення енергії та речовини математично можна описати у вигляді диференціальних рівнянь (ДК). Будь-які процеси в АСР також можна описати диференціальними рівняннями, які визначають сутність процесів, що відбуваються в системі, незалежно від її конструкції і т.д. Вирішивши ДК, можна знайти характер зміни регульованої змінної в перехідних і режимах, що встановилися при різних впливах на систему.
Для спрощення завдання знаходження ДК, що описує роботу АСР загалом, систему розбивають її окремі елементи, перехідні процеси у яких описуються досить простими ДК. Так як ДУ описують роботу системи незалежно від фізичної сутності процесів, що протікають в ній, то при декомпозиції системи немає необхідності враховувати їх фізичну цілісність. Для кожного елемента структурної схеми необхідно скласти ДК, що визначає залежність зміни вихідної величини від вхідної.
Оскільки вихідна величина попереднього елемента є вхідний наступного, то, визначивши ДУ окремих елементів, можна знайти ДУ системи.
Однак такий метод застосовується тільки в окремих випадках. Справа в тому, що в більшості випадків у реальних елементах системи зв'язок міжвхідною та вихідною величинами є нелінійним і часто задається у графічній формі. Тому навіть якщо ДУ системи і буде отримано, воно буде нелінійним. А аналітичне рішення нелінійних ДУ можливо далеко не завжди.
Для вирішення цієї проблеми враховують, що в процесі регулювання відхилення всіх змінних величин від їх значень малий, і тому можлива заміна нелінійних ДК наближеними лінійними ДК, тобто можлива лінеаризація диференціальних рівнянь.
Розглянемо сутність процесулінеаризації з прикладу сушильного шафи. Залежність температури об'єкта від напруги, що подається, в більшості випадків нелінійна і має вигляд, представлений на малюнку.
Графічно лінеаризацію деякого рівняння від двох змінних F(х,у) = 0 в околиці деякої точки (х0, у0) можна представити як заміну ділянки кривої, що розглядається, на дотичну, рівняння якої визначається за формулою
,
де - приватні похідні від F по х і у. Дане рівняння називається рівнянням у приростах, оскільки значення х і у тут замінені на прирости Dх = х - х0 і Dу = у - у0.
Лінеаризація ДУ відбувається аналогічно, відмінність полягає лише в тому, що необхідно шукати приватні похідні за похідними ( , , і т.д.). Підсумкове рівняння в приростах міститиме прирощення похідних: Dх' = х'– х'0, Dх” = х”– х”0, … , Dy' = y'–y'0, Dy” = y”–y”0 , і т.д.
Приклад. Лінеаризація нелінійного ДК.
3xy - 4x 2 + 1,5 y = 5 + y
Дане ДК є нелінійним через наявність творів змінних х та у. Лінеаризуємо його в околиці точки з координатами х0 = 1, = 0, = 0. Для визначення початкового умови, що недостатньо, у0 підставимо дані значення в ДУ:
Введемо на розгляд функцію
F = 3xy - 4x 2 + 1,5x'y - 5y' - y
та визначимо всі її похідні за заданих початкових умов:
= (3у - 8х = 3 * 2 - 8 * 1 = -2,
= (3х + 1,5x' - 1 = 3 * 1 + 1,5 * 0 - 1 = 2,
= (1,5у = 1,5 * 2 = 3
= -5.
Тепер, використовуючи отримані коефіцієнти, можна записати остаточне лінійне ДК:
-5. Dy' + 2 . Dy+3. Dх' - 2 . Dх = 0.
Лінеаризація ДУ, заданого у явному вигляді щодо у, тобто. y = F(x) виробляється за формулою
,
тобто в даному випадку немаєнеобхідності шукати похідні за у.
Структурні схеми.
Для дослідження та розрахунку структурну схему АСР шляхом еквівалентних перетворень призводять до найпростішого стандартного вигляду «об'єкт – регулятор». Практично всі інженерні методи розрахунку та визначення параметрів налаштування регуляторів застосовані для такої стандартної структури.
Загалом будь-яка одновимірна АСР з головним зворотним зв'язком шляхом поступового укрупнення ланок може бути приведена до такого виду.
Якщо вихід системи не подавати на її вхід, то виходить розімкнена система регулювання, передатна функція якої визначається як добуток:
(Wp – ПФ регулятора, Wy – ПФ об'єкта управління).
Тобто послідовність ланок Wpі Wy може бути замінена однією ланкою з W¥. Передавальну функцію замкнутої системи прийнято позначати як Ф(s). Вона може бути виражена через W:
Фз(s) = = .
(Далі будемо розглядати тільки системи зі зворотним негативним зв'язком, оскільки вони використовуються в переважній більшості АСР).
Дана передатна функція Фз(s) визначає залежність у від х і називається передатною функцією замкнутої системи по каналу впливу, що задає (за завданням).
Для АСР існують також передавальні функції іншими каналами:
Фe(s) = = - помилково,
Фв(s) = = - з обурення,
де Wу.в.(s) – передатна функція об'єкта управління по каналу передачі впливу, що обурює.
Щодо обліку обурення можливі два варіанти:
- обурення надає адитивний вплив на керуючий вплив;
- обурення впливає вимірювання регульованого параметра.
Прикладом першого варіанта може бути вплив коливань напруги в мережі на напругу,що подається регулятором на нагрівальний елемент об'єкта. Приклад другого варіанта: похибки при вимірюваннях параметра, що регулюється, внаслідок зміни температури навколишнього середовища. Wу.в. – модель впливу навколишнього середовища на вимірювання.
Для першого варіанта передатна функція Wу. приймається рівною Wу, для другого - як правило, на схемі вона виділена в окрему ланку.
Оскільки передавальна функція розімкнутої системи є у випадку дробно-раціональної функцією виду W¥ = , то передатні функції замкнутої системи може бути перетворені:
Фз(s) = = = ,
Фe(s) = = = ,
Як видно, ці передатні функції відрізняються лише виразами чисельників. Вираз знаменника називаєтьсяхарактеристичним виразом замкнутої системи і позначається як Dз(s) = A(s) + B(s), у той час як вираз, що знаходиться в знаменнику передавальної функції розімкнутої системи W¥, називаєтьсяхарактеристичним виразом розімкнутої системи А(s).
Приклад. Визначення передавальних функцій АСР.
Структура АСР представлена малюнку. Потрібно визначити передавальні функції регулятора, об'єкта, розімкнутої системи, замкнутої системи та характеристичні вирази.
У структурній схемі АСР ланки, відповідні регулюючого пристрою, стоять перед ланками об'єкта управління і генерують вплив на об'єкт u. За схемою видно, що до схеми регулятора відносяться ланки 1, 2 та 3, а до схеми об'єкта – ланки 4 та 5.
Враховуючи, що ланки 1, 2 та 3 з'єднані паралельно, отримуємо передатну функцію регулятора як суму передатних функцій ланок:
.
Ланки 4 і 5 з'єднані послідовно, тому передатна функція об'єкта управління визначаєтьсяяк добуток передавальних функцій ланок:
.
Передатна функція розімкнутої системи:
,
звідки видно, що чисельник (s) = 1,5 . s 2 + 3 . s + 1, знаменник (він же характеристичний поліном розімкнутої системи) А(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s. Тоді характеристичний поліном замкнутої системи дорівнює:
D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.
Передавальні функції замкнутої системи:
по завданню ,
по помилці .
При визначенні передавальної функції з обурення приймається Wу. = Wоу. Тоді
.