Диференціальний оператор, Математика, FANDOM powered by Wikia
Цю статтю слід вікіфікувати.Диференціальний оператор- узагальнення оператора диференціювання. Диференціальний оператор (взагалі кажучи, не безперервний, не обмежений і не лінійний) — оператор, визначений деяким диференціальним виразом і діючий у просторах (взагалі кажучи, векторнозначних) функцій (або перерізів диференційованих розшарування) на диференційованих різноманіттях, або в просторах цього типу.
Диференціальний вираз- це таке відображення $ \lambda $ безлічі $ \mathfrak P $ у просторі перерізів розшарування $ \xi $ з базою $ M $ у простір перерізів розшарування $ \eta $ з тією ж базою, що для будь-якої точки $p\in M$ і будь-яких перерізів $f, g\in\mathfrak P$ із збігів їх $k$-струмен у точці $p$ слід збіг $\lambda f$ і $g$ у тій же точці; найменше з чисел $k$, що задовольняють цій умові для всіх $p\in M$, називаєтьсяпорядком диференціального виразуіпорядком диференціального оператора, визначеного цим виразом.
На різноманітті $M$ без краю диференціальний оператор часто є розширенням оператора, що природно визначається фіксованим диференціальним виразом на деякій (відкритій у відповідній топології) безлічі нескінченно (або досить багато разів) диференційованих перерізів даного векторного розшарування $\xi$ з базою $ M$ і, таким чином, допускає природне узагальнення на випадок пучків паростків перерізів диференційованих розшарування. На різноманітті $ M $ з краєм $ \partial M $ диференціальний оператор $ L $ часто визначається як розширення аналогічного оператора, природно визначеного диференціальним виразом на безлічі тих, що диференціюютьсяфункцій (або перерізів розшарування), обмеження яких на $ \ partial M $ лежать в ядрі деякого диференціального оператора $ l $ на $ \ partial M $ (або задовольняє будь-яким іншим умовам, що визначаються тими чи іншими вимогами до області значень оператора $ l $ на обмеження функцій з області визначення оператора $ L $ (наприклад, нерівностями); диференціальний оператор $l$ називаєтьсявизначальним граничні умовидля диференціального оператора $L$. Лінійні диференціальні оператори в просторах, пов'язаних до просторів функцій (або перерізів), визначаються як оператори, пов'язані з диференціальними операторами, зазначеного вище виду в цих просторах.
Приклади
1) Нехай $ F $ - дійсна функція $ k + 2 $ змінних $ x, \; y_0, \; y_1, \; \ ldots, \; y_k $, визначена в деякому прямокутнику $ \ Delta = I J_1\times\ldots\times J_k$; диференціальний вираз
(де функція $ F $ зазвичай задовольняє деяким умовам регулярності - вимірності, безперервності, диференційності тощо) визначає диференціальний оператор $ D $ на різноманітті $ \ Delta $ , область визначення якого $ \ Omega $ складається з усіх функцій $ u\in C^k(\Delta) $ , що задовольняють умові $ u^(x)\in J_i $ для $ i=0,\;1,\;\ldots,\;k $ ; якщо $ F $ безперервна, то $ D $ може розглядатися як оператор $ C(I) $ з областю визначення $ \ Omega $ . Такий диференціальний оператор $D$ називаєтьсязагальним звичайним диференціальним оператором.
Якщо $F$ залежить від $y_k$, то порядок $D$ дорівнює $k$. Диференціальний оператор $D$ називаєтьсяквазилінійним, якщо $F$ лінійно залежить від $y_k$;лінійним, якщо $ F $ лінійно залежить від $ y_0,\;y_1,\;\ldots,\;y_k $;лінійним з постійними коефіцієнтами, якщо $F$ не залежить від $x$ і $D$ є лінійним диференціальним оператором. Інші диференціальні оператори називаютьсянелінійними. Квазилінійний диференціальний оператор за певних умов регулярності функції $F$ може бути розширений до диференціального оператора з одного простору Соболєва до іншого.
2) Нехай $ x=(x^1,\;\ldots,\;x^N) $ пробігає область $ \mathfrak S $ у $ \mathbb^N $ $ F=F(x,\;u ,\;\ldots,\;D^n(u)) $ — диференціальний вираз, що визначається дійсною функцією $ F $ на виробленні області $ \mathfrak S $ на деякий відкритий прямокутник $ \omega $ , тут $ D^(u) $ - Набір приватних похідних виду $ D^\alpha u=\frac>\ldots(\partial x^N)^> $ , де $ a_1+\ldots+a_N\leqslant n $ , а функція $ F $ задовольняє деяким умовам регулярності. Визначений цим виразом диференціальний оператор на просторі досить функцій, що диференціюються на $ \mathfrak\times\omega $ називаєтьсязагальним диференціальним оператором з приватними похідними. Аналогічно 1) визначаються нелінійні, квазілінійні та лінійні диференціальні оператори з приватними похідними та порядок диференціального оператора; диференціальний оператор називаєтьсяеліптичним,гіперболічнимабопараболічним, якщо він визначається диференціальним виразом відповідного типу. Іноді розглядаються функції $F$, що залежать від похідних всіх порядків (наприклад, у формальній лінійній комбінації їх); таким диференціальним виразам, які не визначають диференціальний оператор у звичайному сенсі, проте можуть бути зіставлені деякі оператори (наприклад, у просторах паростків аналітичних функцій), називається диференціальним операторомнескінченного порядку .
3) Попередні приклади можуть бути перенесені на випадок комплексного поля, локально компактного цілком незв'язного поля і (принаймні у разі лінійних диференціальних операторів) навіть у більш загальну ситуацію.
4) Системи диференціальних виразів визначають диференціальні оператори у просторах вектор-функцій. Наприклад, диференціальний оператор Коші-Рімана, визначений диференціальним виразом $ \ left \ & lt; \frac-\frac,\;\frac+\frac \right\gt; $ перетворює простір пар гармонійних функцій на площині у собі.
У визначенні диференціального оператора та його узагальнень (крім звичайних похідних) часто використовуються не тільки узагальнені похідні (природно виникають при розгляді розширень диференціальних операторів, заданих на функціях, що диференціюються) і слабкі похідні (пов'язані з переходом до сполученого оператора), а й похідні дробового порядків. Більше того, саме диференціювання замінюється перетворенням Фур'є (або іншим інтегральним перетворенням), що застосовується до області визначення та значення такого узагальненого диференціального оператора так, щоб отримати можливе просте уявлення відповідної диференційного оператора функції $F$ і досягти розумної спільності постановки завдань та хороших властивостей розглянутих об'єктів, а також побудувати функціональне або операційне обчислення (відповідність між оператором диференціювання та оператором множення на незалежну змінну, що здійснюється перетворенням Фур'є).
Такі питання теорії диференціальних рівнянь, як існування, єдиність, регулярність, безперервна залежність рішень від початкових даних чи правої частини, явний вид рішеннядиференціального рівняння, визначеного даним диференціальним виразом, природно інтерпретуються в термінах теорії операторів як завдання диференціального оператора, визначеного даним диференціальним виразом у відповідних функціональних просторах, а саме — як задачі про ядро, образ, вивчення структури області визначення даного диференціального оператора. розширення, безперервності зворотного оператора до даного диференціального оператора та явної побудови цього зворотного оператора. Питання апроксимації рішень і побудови наближених рішень диференціальних рівнянь також знаходять природне узагальнення та удосконалення в задачах про відповідних диференціальних операторів, а саме про підбір таких природних топологій в області визначення та області значень, щоб оператор $ L $ (за умови єдиності рішень) здійснював області визначення та області значень у цих топологіях (ця теорія пов'язана з теорією інтерполяції та шкал функціональних просторів, особливо у випадках лінійних та квазілінійних диференціальних операторів), або у підборі диференціальних операторів, близьких до даного в тому чи іншому сенсі (що дозволяє, використовуючи різні топології у безлічі диференціальних операторів, обґрунтовувати методи апроксимації рівнянь, у тому числі метод регуляризації, метод штрафу та деякі ітераційні методи регуляризації). Теорія диференціальних операторів дозволяє застосувати класичні методи теорії операторів, наприклад теорію цілком безперервних операторів, метод стислих відображень у різних теоремах існування та єдиності рішень диференціальних рівнянь, теорії біфуркації рішень і в нелінійних завданнях про власні значення. Часто можна використовуватинаявність у функціональних просторах, де визначено диференціальний оператор, природної структури порядку (зокрема, застосувати теорію монотонних операторів), використовувати методи лінійного аналізу (теорію двоїстості, теорію опуклих множин, теорію сполучених операторів, теорію диссипативних операторів), , а також наявність деяких додаткових структур в області визначення області значень (наприклад, комплексної, симплектичної тощо) для з'ясування структури області значень та ядра диференціального оператора, тобто отримання інформації про клас рішень відповідних рівнянь. Ряд завдань, що з диференціальними висловлюваннями, призводить до необхідності вивчення диференціальних нерівностей, природно пов'язані з багатозначними диференціальними операторами.
Але теорія диференціальних операторів дасть можливість поставити і вирішити й низку принципово нових завдань порівняно з класичними завданнями теорії диференціальних рівнянь. Так, для нелінійних операторів цікавлять вивчення структури безлічі його нерухомих точок і дію оператора у тому околиці, і навіть класифікація цих спеціальних точок і питання стійкості типу особливої точки при обуренні даного диференціального оператора; для лінійних диференціальних операторів крім зазначених вище завдань, становлять інтерес задачі про опис та вивчення спектра диференціальних операторів, побудови його резольвенти, обчислень індексу, опис структури інваріантних підпросторів даного диференціального оператора, побудова пов'язаного з даним диференціальним оператором гармонійного аналізу (зокрема, розкладання функцій, що потребує попереднього вивчення питань повноти системивласних та приєднаних функцій), вивчення лінійних та нелінійних обурень даного диференціального оператора. Ці завдання становлять особливий інтерес для еліптичних диференціальних операторів, породжених симетричними диференціальними виразами, у зв'язку з теорією самосполучених операторів у просторі гільберта (зокрема, зі спектральною теоремою для таких операторів і теорією розширень симетричних операторів). Теорія низки завдань гіперболічних і параболічних (не обов'язково лінійних) диференціальних операторів пов'язані з теорією груп і напівгруп перетворень локально опуклих просторів.
Мабуть, найбільш досліджений (крім лінійних) клас диференціальних операторів, який до того ж має широке практичне застосування, — диференціальні оператори, що не змінюються взагалі або змінюються за цілком певним законом при дії на область їх визначення та відповідним чином на диференціальне вираження деяких перетворень , що становлять групу $G$ (або напівгрупу). Такі, наприклад, інваріантні диференціальні оператори, тісно пов'язані з уявленнями групи $G$; коваріантна похідна або, більш загально, пульверизація - диференціальний оператор на просторах диференційованих тензорних полів (тут $ G $ група всіх диферморфізмів), довгий ряд операторів теоретичної фізики і т. п. Функціонально-геометричні методи корисні і при дослідженні диференціальних операторів симетрією.
Теорія диференціальних операторів, що є складовою загальної теорії операторів, грає останнім часом все більш значну роль не тільки в теорії диференціальних рівнянь, а й взагалі в сучасному аналізі, причому не тільки як важливий конкретний приклад необмеженихоператорів (це особливо стосується теорії лінійних диференціальних операторів), але і як апарат подання та засіб вивчення об'єктів різної природи: так, наприклад, будь-яка узагальнена функція (і навіть гіперфункція) виходить дією деякого узагальненого диференціального оператора на безперервну функцію. Нарешті, безперервно зростає роль і вплив теорії диференціальних операторів в інших розділах математики — наприклад, одне з рішень так званої проблеми індексу пов'язує топологічні харакеристики мпогоподібності з наявністю на ньому певного класу диференціальних операторів, що дозволяє зробити висновок про властивості еліптичних комплексів на цьому різноманітті. : Operator różniczkowy