Динамічне подання сигналів
3.1. Розкладання сигналів по одиничних імпульсах. Поодинокі імпульси. Розкладання сигналу. Імпульсний відгук лінійної системи.
3.2. Згортка (конволюція). Інтеграл Дюамелі. Техніка згортки. Властивості згортки. Системи згортки. Початкові умови згортки.
Динамічна форма подання сигналів відповідає їхній природній та звичній для нас формі математичного опису у вигляді функцій незалежних змінних (аргументів). Моделювання та аналіз лінійних стаціонарних систем обробки сигналів довільної форми в динамічному поданні базується на розкладанні сигналів за одиничними імпульсами найпростішої форми.
3.1. Розкладання сигналів по одиничних імпульсах
Поодинокі імпульси. Як математичну модель одиничного імпульсу при аналізі аналогових сигналів використовують дельта-функцію.
Дельта-функція або функція Дірака. За визначенням, дельта-функція описується такими математичними виразами (у сукупності):
d (t-t) = 0 при t № t, d (t-t) dt = 1.
Функція d (t- t ) не є диференційованою, і має розмірність, обернену до розмірності її аргументу, що безпосередньо випливає з безрозмірності результату інтегрування. Значення дельта-функції дорівнює нулю скрізь за винятком точки t де вона являє собою нескінченно вузький імпульс з нескінченно великою амплітудою, при цьому площа імпульсу дорівнює 1.
Дельта-функція є корисною математичною абстракцією. Насправді такі функції неможливо знайти реалізовані з абсолютною точністю, оскільки неможливо реалізувати значення, рівне нескінченності, у точці t = t на аналогової тимчасової шкалою, тобто. певної за часом також із нескінченною точністю. Але у всіх випадках, коли площа імпульсу дорівнює 1, тривалість імпульсу достатньомала, а за час його дії на вході будь-якої системи сигнал на її виході практично не змінюється (реакція системи на імпульс у багато разів більша за тривалість самого імпульсу), вхідний сигнал можна вважатиодиничною імпульсною функцієюз властивостями дельта - Функції.
Функція Кронекер. Для дискретних і цифрових систем як одиничного імпульсу використовується дискретний інтегральний аналог дельта-функції - функція одиничного відліку d (k D t-n D t), яка дорівнює 1 в координатній точці k = n і нулю у всіх інших точках, при цьому функція d ( k D t-n D t) визначено лише для цілих значень координат k та n.
Математичні вирази d(t-t) і d(kDt-nDt) називають також імпульсами Дірака та Кронекера. Однак, застосовуючи таку термінологію, не слід забувати, що це не просто поодинокі імпульси в координатних точках t і n D t, а імпульсні функції, що визначають як значення імпульсів у певних координатних точках, так і нульові значення по всіх інших координатах. - Ґ до Ґ.
Розкладання сигналу по одиничних імпульсах. Імпульси Дірака і Кронекера використовуються для розкладання, відповідно, довільних аналогових сигналів s(t) і дискретних сигналів s(k D t) в безперервну послідовність імпульсів, що не перекриваються (ортогональних):
s(t) = s(t) d(t-t) d t. (3.1.1)
s(k D t) = s(n D t) d (k D t-n D t). (3.1.1 ')
Для аналогових сигналів розкладання (3.1.1) у фізичному поданні еквівалентно скануванню значень сигналу s(t) у моменти часу t = t нескінченно вузькою щілиною, що біжить уздовж осі t. Для цифрових сигналів ця щілина дорівнює одному відліку. Приклад розкладання дискретного сигналу наведено на рис. 3.1.1.
Поодинокі імпульсні функції d (t-t), -Ґ 0 і помістимо його початок h(0) у точку, на яку потрібно виконати розрахунок вихідного сигналу, тобто. у точку t=5 для нашого прикладу. Якщо тепер відлік координат функції h(t) повести назад від точки розрахунку за аргументом t, тобто. перейти на обчислення h(t), де значення t змінюється від 0 і далі (у межі до Ґ), то неважко переконатися (на малюнку це наочно видно), що функція h(t) перетне вхідні імпульси на тих же значеннях у1 і у2 . Для цих точок перетину першого і другого імпульсів відповідно має місце t 1 = t-t1 і t 2 = t-t2, як і при прямому методі розрахунку запізнюваних реакцій при розрахунку значень h(t-t 1) і h(t-t 2). Після множення отриманих значень h( t 1 ) і h ( t 2 ) на значення вхідного сигналу А і В отримуємо повну аналогію: y1 = A Ч h( t 1) = A Ч h(t-t1 ) і y2 = B Ч h( t 2) = B Ч h(t-t2 ), і відповідно сумарний сигнал у = у1 + у2.
y(t i ) = h(t) Ч s(t i - t) d t. (3.1.3)
Відповідно у цифрових системах для довільної точки k:
y(k D t) = h(n D t) S (k D t-n D t). (3.1.3 ')
Отримана сума значень і буде запізнювальною реакцією системи на всі імпульси, що надійшли на вхід системи до поточної точки розрахунку вихідного сигналу.
Таким чином, для лінійних та стаціонарних систем легко визначити їхню реакцію на будь-який вхідний сигнал, якщо відомий імпульсний відгук систем на одиничний вхідний сигнал.
3.2. Згортка (конволюція) [1,11].
Інтеграл Дюамелі. Довільний сигнал на вході системи з використанням виразів розкладання сигналу може бути представлений у вигляді послідовної лінійної комбінації зважених поодиноких імпульсів:
y(t) = T[s(t)] = T[s(t) d(t-t) d t].
На основі принципу суперпозиції лінійний оператор Тто, можливо внесений під знак інтеграла, т.к. останній є граничним значенням суми. У цьому операція перетворення діє лише з змінної t. Звідси випливає:
y(t) = s(t) Т[d(t-t)] dt = s(t)h(t-t) dt. (3.2.1)
Цей вираз є інтегралом Дюамеля або згортку (конволюцію) вхідного сигналу з імпульсною характеристикою системи. Заміною змінних t- t = t можна переконатися, що згортка коммутативна:
s(t) h(t-t) d t є h(t) s(t-t) d t. (3.2.1')
Функція h(t) називаєтьсяядром згортки(kernel) або імпульсною характеристикою лінійної системи. Аналогічно, для дискретних сигналів, де значення D t зазвичай приймається рівним 1, а індекси k і n виконують роль номерів відліків числових рядів:
y(k) = h(n) s(k-n). (3.2.1'')
У цифрових методах обробки сигналів функцію h(n) зазвичай називають оператором згортки, яке розмір за кількістю відліків – вікном оператора згортки.
Вирази (3.2.1) мають спеціальну форму спрощеного математичного запису у символічному вигляді:
Порівнянням виразів (3.2.1' і 3.2.1'') з виразами (3.1.3) неважко переконатися в їх повній ідентичності, за винятком нижньої межі інтегрування (підсумовування). Це і зрозуміло, тому що вирази (3.1.3) були отримані при розгляді реальної фізичної системи, що працює в реальному масштабі часу, імпульсний відгук яких односторонній (рівний нулю при t
,
а вираз згортки набуває вигляду:
(t) = (t) (t-t) dt.
Тут (і надалі тексті) жирним шрифтом із "кришкою" виділяються векторні величини.
Системи згортки. Згортка виконується системою (фізичним чи програмним пристроєм). Фізичні системи, що працюють уреальному часі, обчислюють поточне значення вихідного сигналу за всіма попередніми значеннями вхідного сигналу, і не можуть мати у своєму розпорядженні майбутніх значень вхідного сигналу. Оператори таких систем є односторонніми (каузальними). Наведена вище, нормована до 1 за площею, функція RC-ланцюга h(t) = (1/RC) Ч exp(-t/RC), прийнята як системний оператор на рис. 3.2.1 є саме таким одностороннім каузальним оператором. При порівнянні вихідного сигналу такої системи із вхідним неважко помітити, що вихідний сигнал зсувається щодо вхідного сигналу. Для каузальних систем такий "зсув по фазі" існує завжди і не може бути виключений (сигнал на виході системи не може бути раніше сигналу на її вході).
Вхідним сигналом програмних систем є сигнал у цілому, записаний на згадку про обчислювальний пристрій. При обробці таких даних у розпорядженні системи при обчисленні будь-якої поточної точки вихідного сигналу є "колишні" для цієї точки, так і "майбутні" значення вхідного сигналу. Це дозволяє створювати системи без зсуву фази вихідного сигналу щодо вхідного. Для створення таких систем може використовуватися два способи:
1. Перший спосіб ілюструє рис. 3.2.3. Задається система з одностороннім каузальним оператором h(t). Вхідний сигнал s(t) пропускається через систему у звичайному порядку, і виконується згортка g(t) = h(t) * s(t). Потім вихідний сигнал g(t) реверсується (g(t)=>g(-t), кінець сигналу стає початком у порядку зростання t) і повторно пропускається через систему, тобто. виконується згортка y(-t) = h(t) * g(-t). Отриманий сигнал знову реверсується y(-t) = gt; y(t), і результат є остаточним вихідним сигналом y(t) системи.
Три останні операції (реверсg(t) Ю згортка c h( t ) Ю реверс вихідного сигналу) еквівалентні згортку сигналу g(t) з реверсованим відгуком системи h(- t ), і зсув по фазі при згортці реверсованого сигналу компенсує зсув по фазі сигналу, отриманий при першій згортці . Загальний результат операції y(t) = h( t ) * h(- t ) * s(t) не має зсуву по фазі вихідного сигналу щодо вхідного. Таку операцію доводиться виконувати для виключення зсуву фази при застосуванні рекурсивних фільтрів, які є односторонніми.
2. Вихідний результат y(t) = h( t ) * h(- t ) * s(t) попередньої операції дозволяє, використовуючи властивість комутативності згортки, спочатку виконати згортку h( t ) * h(- t ) = h( ± t) і отримати один системний оператор h(±t) (див. рис. 3.2.4), що забезпечує згортку без зсуву фази. Цей системний оператор є двостороннім і симетричним щодо t = 0. Але використання його можливе лише попередньо записаних сигналів, т.к. при виконанні згортки y(t)= h( ± t ) * s(t- t ) для негативних значень t потрібні "майбутні" значення вхідного сигналу s(t+ t ). Результат згортки із симетричним оператором повністю аналогічний першій операції (сигнал y(t) на рис. 3.2.3).
Наведене вище формування двостороннього симетричного оператора згортки має суто пізнавальний характер. Насправді цілком природним є розрахунок безпосередньо симетричних двосторонніх операторів під необхідні завдання обробки числових даних (сигналів, зареєстрованих у дискретної числової формі).
Початкові умови згортки. У початковий момент згортки, при обчисленні значень y(t i ) для значень t i t i "зависає" для значень t i - t проти відсутніх значень вхідної функції. Приклад такого зависанняоператора дискретної згортки проти неіснуючих відліків s-1 і s-2 вхідного масиву даних при обчисленні відліку у 0 наведено на рис. 3.2.5. Зависання виключають або завданням початкових умов - додаткових відліків, найчастіше нульових або рівних першому відліку вхідної функції, або початком згортки з відліку вхідної функції k i = n max з відповідним скороченням інтервалу вихідної функції на інтервал завдання системного оператора. Для симетричних операторів зі значеннями -n (вперед за часом) такий самий момент настає і в кінці вхідного масиву, і вимагає завдання кінцевих умов або скорочення розміру вихідного сигналу.
1 . Баскаков С.І. Радіотехнічні ланцюги та сигнали: Підручник для вузів. - М.: Вища школа, 1988.
11. Зінов'єв А.Л., Філіппов Л.І. Введення в теорію сигналів та ланцюгів: Навчальний посібник для вузів. – М.: Вища школа, 1975. – 264 с.