Діофант та діофантові рівняння, Соціальна мережа працівників освіти
| Реферат з електронною презентацією у додатку | 909.86 КБ |
МОУ «Чалтирська загальноосвітня школа №1»
М'ясниківського району Ростовської області
Реферат з математики
Виконав Хейгетян Дзерон Арсенович,
учень 10-го класу.
Керівник – Кілафян Араксі Хевондівна,
- Введение………………………………………………………………..3
- Основна частина роботи:
- про життя Діофанта…………………………………………………..4
- «Арифметика» Діофанта…………………………………………..5
- вирішення діофантових рівнянь першого ступеня……………….7
- розв'язання діофантових рівнянь другого та третього ступенів..13
- Заключение…………………………………………………………16
- Список литературы…………………………………………………….17
Вперше про Діофант я почув у 6 класі, коли при вивченні теми «Рішення рівнянь» ми вирішували завдання, в якому треба було визначити вік стародавнього математика. Потім на заняттях математичного гуртка ми познайомилися із позначеннями, які вперше ввів Діофант для невідомих. І мене це зацікавило, з доступної літератури я почав вивчати способи розв'язання діофантових рівнянь і частину цієї роботи хочу подати вашій увазі.
Мета роботи: вивчити способи розв'язання діофантових рівнянь першого та другого ступеня.
- навчитись прийомам роботи з науковою літературою;
- вивчити матеріали про творчість Діофанта, зокрема про його внесок у теорію чисел;
- навчитися вирішувати невизначені рівняння першого ступеня;
- ознайомитися з прийомами розв'язання діофантових рівнянь другого ступеня;
- узагальнити вивчений матеріал, підготувати презентацію, поставити завдання на перспективу.
Основна частина роботи
1) Про життя Діофанта.
Одним із своєрідних давньогрецьких математиків був Діофант Олександрійський, праці якого мали велике значення для алгебри та теорії чисел. Досі не з'ясовано ні рік народження, ні дата смерті Діофанта: вважають, що він жив у ІІІ ст. В одному з стародавніх рукописних збірок завдань у віршах життя Діофанта описується у вигляді наступної загадки алгебри, що представляє надгробний напис на його могилі:
Прах Діофанта гробниця спочиває; дивись їй — і камінь
Мудрим мистецтвом його скаже померлого століття.
Волею богів шосту частину життя він прожив дитиною
І половину шостою зустрів із гарматою на щоках.
Тільки минула сьома, з подругою він побрався.
З нею провівши п'ять років, сина дочекався мудрець;
Тільки півжиття батькової коханий син його прожив.
Забраний він був у батька ранньою могилою своєю.
Двічі два роки батько оплакував тяжке горе,
Тут і побачив межу життя сумного свого.
Завдання-загадка зводиться до складання та вирішення рівняння
Ось скільки років жив Діофант.
2) «Арифметика» Діофанта
На початку своєї праці Діофант помістив короткий вступ, що став першим викладом основ алгебри. У ньому будується поле раціональних чисел та вводиться буквена символіка. Там же формулюються правила дій із багаточленами та рівняннями. Відразу обмовимося, що аналіз розв'язків задач дозволяє виявити в «Арифметиці» ширші теоретичні підстави, ніж ті, які викладено у вступі. Насамперед це стосується числової області.
Нагадаємо, що в класичній античній математиці числами називалися множини одиниць, тобто тільки натуральні числа.
Діофант же хоч і даєвизначення числа як множини одиниць, але протягом усіх книг називає кожне позитивне раціональне вирішення своїх завдань словом «число».
Однак для побудови алгебри одних лише позитивних дробів недостатньо, і Діофант робить рішучий крок – запроваджує негативні числа. І тому він вибирає метод, відомий тепер як аксіоматичний: він визначає новий об'єкт, який називає «недоліком», і формулює правила дій із нею. Діофант пише: «Нестача, помножена на недолік, дає наявність; а недолік, помножений на наявність, дає недолік».
Правила складання та віднімання для нових чисел Діофант не викладає, він просто користується ними у своїх книгах. І все ж таки негативні числа Діофант застосовує тільки в проміжних обчисленнях, а як рішення завжди вибирає позитивне раціональне число.
У запропонованій Діофантом літерній символіці примітно те, що крім знака для невідомої величини вводяться позначення перших шести її ступенів, як позитивних, і негативних. Тобто для Діофанта ці величини немає геометричного сенсу, як було раніше. Сформулювавши правила множення ступенів невідомого та ввівши спеціальні знаки для рівності – i (початкові літери грецького слова «ісос» – «рівний») та невизначеного квадрата – □, Діофант вперше в математиці отримує можливість записувати рівняння або системи рівнянь. Звичайно, його форма запису анітрохи не схожа на сучасну, проте це справжні рівняння, що виділяються в тексті так само, як у математичних роботах. Власне, до Діофанта жодних рівнянь - ні певних, ні невизначених - просто не було. Розглядалися завдання, які ми тепер можемо звести до рівнянь, і не більше.
Нарешті,Введення Діофант формулює два основних правила перетворення рівнянь: правило перенесення члена рівняння з однієї частини до іншої зі зворотним знаком і правило приведення подібних членів.
«Арифметика» Діофанта — це збірка завдань (їх лише 189), кожна з яких має рішення (або кілька способів вирішення) та необхідні пояснення. Тому з першого погляду здається, що вона не є теоретичним твором. Однак при уважному читанні видно, що завдання ретельно підібрано і служать для ілюстрації цілком певних, суворо продуманих методів.
3) Вирішення діофантових рівнянь першого ступеня
Методи розв'язання невизначених рівнянь становлять основний внесок Діофанта у математику. Відомо, що у символіці Діофанта був лише знак для невідомого. Вирішуючи невизначені рівняння, він застосовував як кілька невідомих довільні числа, замість яких можна було взяти й будь-які інші, що зберігало характер спільності його рішення.
Рішення рівнянь у цілих числах – один із найкрасивіших розділів математики. Жоден великий математик не пройшов повз теорію діофантових рівнянь. Ферма, Ейлер, Лагранж, Гаус, Чебишев залишили незабутній слід у цій цікавій теорії.
Довгий час сподівалися знайти загальний спосіб розв'язання діофантових рівнянь. Однак у 1970р. ленінградський математик Матіясевич довів, що такого загального способу не може бути.
Я вивчив два способи розв'язання діофантових рівнянь: перший з них – метод перебору – застосовується для вирішення найпростіших завдань.
У дворі стоять скутери та автомобілі, всього у них разом 18 коліс. Скільки скутерів та скільки автомобілів у дворі?
Складається рівняння з двома невідомими змінними, в якому х – число автомобілів, у – числоскутерів: