Дослідження функції на періодичність

Розділи: Математика

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів на тему “Періодичність функцій”; формувати навички застосування властивостей періодичної функції, знаходження найменшого позитивного періоду функції, побудови графіків періодичних функцій; сприяти підвищенню інтересу до вивчення математики; виховувати спостережливість, акуратність.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, картки із завданнями, слайди, годинники, таблиці орнаментів, елементи народного промислу

“Математика – те, з чого люди керують природою і собою”А.Н. Колмогоров

I. Організаційний етап.

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми та завдань уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряємо за зразками, найскладніші моменти обговорюємо.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань.

1. Усна фронтальна робота.

1) Сформуйте визначення періоду функції 2) Назвіть найменший позитивний період функцій y=sin(x), y=cos(x) 3). Назвіть найменший позитивний період функцій y=tg(x), y=ctg(x) 4) Доведіть за допомогою кола вірність співвідношень:

y=sin(x) = sin(x+360º) y=cos(x) = cos(x+360º) y=tg(x) = tg(x+18 0º) y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+ π n)=tgx, n € Z ctg(x+ π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2 π n)=sinx, n € Z cos(x+2 π n)=cosx, n € Z

5) Як побудувати графік періодичної функції?

1) Довести такі співвідношення

a)sin( 740º ) = sin(2 0º )b)cos( 54º ) = cos(-1026º)c)sin(- 1000º) = sin( 80º )

2. Довести, що кут 540º є одним з періодів функції y=cos(2x)

3. Довести, що кут 360ºодним із періодів функції y=tg(x)

4. Дані вирази перетворити так, щоб кути, що входять до них, по абсолютній величині не перевищували 90º .

a)tg 375ºb)ctg 530ºc)sin 1268ºd)cos (-7363º)

5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДІЧНІСТЬ?

Відповіді учнів: Період у музиці – побудова, у якому викладено більш менш завершена музична думка. Геологічний період – частина епохи і поділяється на епохи з періодом від 35 до 90 млн. років.

Період напіврозпаду радіоактивної речовини. Періодичний дріб. Періодична друк – друковані видання, що з'являються у певні терміни. Періодична система Менделєєва.

6. На малюнках зображено частини графіків періодичних функцій. Визначте період функції. Визначити період функції.

7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою елементів, що повторюються?

Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.

IV. Колективне розв'язання задач.

(Розв'язання задач на слайдах.)

Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.

При цьому способі обходяться труднощі, пов'язані з доказом того, що той чи інший період є найменшим, а також відпадає необхідність стосуватися питань про арифметичні дії над періодичними функціями та про періодичність складної функції. Міркування спирається лише визначення періодичної функції і такий факт: якщо Т – період функції, те й nT(n?0) – її період.

Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f(x)=1+35>

Рішення: Припустимо, що Т-період цієї функції. Тоді f(x+T)=f(x) всім x € D(f), тобто.

Покладемо x=-0,25 отримаємо

Ми отримали, що всі періодирозглянутої функції (якщо вони є) перебувають серед цілих чисел. Виберемо серед цих чисел найменше додатне число. Це1. Перевіримо, чи не буде воно і справді періодом1.

Оскільки = за будь-якого Т, то f(x+1)=3+1=3+1=f(x), тобто. 1 – період f. Оскільки 1 – найменше з усіх позитивних чисел, то T=1.

Завдання 2. Показати, що функція f(x)=cos 2 (x) періодична і визначити її основний період.

Завдання 3. Знайдіть основний період функції

Допустимо Т-період функції, тоді для будь-якогохсправедливе співвідношення

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

- sin (1,5 Т) + 5 cos (0,75 Т) = 5

cos=1

=2πn, n € Z

T =, n € Z

Виберемо зі всіх “підозрілих” на період чисел найменше позитивне і перевіримо, чи воно періодом для f. Це число

f(x+)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Отже – основний період функції f.

Завдання 4. Перевіримо, чи є періодичною функція f(x)=sin(x)

Нехай Т – період функції f. Тоді для будь-якого х

Якщо х = 0, то sin Т = sin0, sin Т = 0 Т = π n, n € Z.

Припустимо. Що за деякого n число π n є періодом

розглянутої функції π n>0. Тоді sin π n+x=sinx

Звідси випливає, що n має бути одночасно і парним і непарним числом, а це неможливо. Тому ця функція не є періодичною.

Завдання 5. Перевірити, чи є періодичною функцією

f(x)=

Нехай Т – період f, тоді

, Звідси sinT = 0, Т = π n, n € Z. Припустимо, що при деякому n число π n дійсно є періодом цієї функції. Тоді і число 2 π n буде періодом

Так як чисельники рівні,то рівні та їхні знаменники, тому

Отже, функція f не періодична.

Робота у групах.

Завдання групи 1.

Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо існує).

Завдання групи 2.

Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо існує).

Завдання групи 3.

Після закінчення роботи гурту презентують свої рішення.

VI. Підбиття підсумків уроку.

Вчитель видає учням картки з малюнками і пропонує зафарбувати частину першого малюнка відповідно до того, в якому обсязі, як їм здається, вони оволоділи способами дослідження функції на періодичність, а в частині другого малюнка відповідно до свого внеску в роботу на уроці.

Мої вміння досліджувати функції на періодичність	Мій внесок у роботу на уроці

VII. Домашнє завдання

1). Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо вона існує)

2). Функція y=f(x) має період Т=2 і f(x)=x 2 +2x при x [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f(-3)-4f(3,5)

1. Мордкович А.Г.Алгебра та початку аналізу з поглибленим вивченням.
2. Математика. Підготовка до ЄДІ. За ред.Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьєва Т.Г. , Тарасова Є.А.Алгебра та початку аналізу для 10-11 класів.

---