ДВУЧЛЕНЕ ПОРІВНЯННЯ

ДВУЧЛЕНЕ ПОРІВНЯННЯ - алгебраїчне порівняння виду

де а, m – взаємно прості цілі числа, а n ≥ 2 – натуральне число. Якщо порівняння (1) можна, то а зв. вирахуванням ступеня n за модулем m. В іншому випадку а зв. невирахуванням ступеня n за модулем m.

Питання про розв'язання Д. с. по складовому модулю m зводиться до вивчення аналогічного питання випадку простого модуля р (див. Порівняння). Для простого модуля є критерій роздільної здатності, доведений Л. Ейлером (L. Euler): для роздільної здатності порівняння

необхідно, щоб виконувалася умова

де - найбільший загальний дільник чисел n і р - 1; при виконанні цієї умови дане порівняння має рівно рішення.

З критерію Ейлера безпосередньо випливає, що з чисел 1, 2, . р - 1 є в точності (р-1)/δ відрахувань і (δ - 1)(р - 1)/δ невирахувань ступеня n по модулю р.

Значно складніше обернена задача: знайти всі модулі р, по яких задане число а є відрахуванням (або невирахуванням) ступеня n ≥ 2. Л. Ейлером встановлено, що розв'язність або нерозв'язність порівняння х 2 ≡ a (mod р) залежить від того, належить чи ні простий модуль р деяким арифметич. прогресіям. Повний доказ цього результату вперше отримав К. Гаус (С. Gauss, 1801; див. [4], а також Гаус закон взаємності, Квадратичний закон взаємності). Більш того, К. Гаусс зауважив, що повне вирішення зазначеної задачі при n ≥ 3 можливе тільки в деякому розширенні кільця цілих раціональних чисел. Так, для встановлення закону взаємності для біквадратичних відрахувань він змушений був розширити кільце цілих раціональних чисел до кільця цілих комплексних чисел Z[i]. Дозволеність або нерозв'язність біквадратичного порівняння x 4 ≡ ω(mod р) у кільці Z[i] при заданому ω ∈ Z[i] залежить від того, яке відрахування числа р по нек-рому постійному модулю D кільця Z[i].

Новий етап у вивченні Д. с. та їх застосувань до інших завдань теорії чисел було розпочато роботами І. М. Виноградова, який в 1914 довів, що кількість R квадратичних відрахувань по простому модулю р серед чисел 1, 2, . Q, Q ≤ p - 1, виражається формулою

R = 1/2 Q + θ √p ln p,

де θ ≤ 1. Аналогічний результат був згодом отриманий І. М. Виноградовим та для більш загального завдання про кількість рішень порівняння

х n ≡ у (mod р), n ≥ 2,

коли у пробігає неповну систему відрахувань 1 ≤ y ≤ Q.

Літ.: [1] Вінков Би. А., Елементарна теорія чисел, М.-Л., 1937; [2] Виноградов І. М., Основи теорії чисел, 8 видавництво, М., 1972; [3] його ж, Ізбр. праці, М., 1952; [4] Гаус К. Ф., Праці з теорії чисел, [пер.], М., 1959.

Математична енциклопедія: Гол. ред. І. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Радянська Енциклопедія», 1979.-1104 стб., іл.