Експонента (показова функція, експонентна функція)

Зазвичай математики називають так функцію у = е х , де - основа натуральних логарифмів - неперове число; . При цьому до її назви часто додають прикметник «основна», щоб відрізнити від показової функції у = а х з позитивною дійсною основою а, відмінною від одиниці, яка також розглядається в нашій середній школі - див.

Для будь-якого (дійсного чи комплексного) числа z експоненту можна визначити співвідношенням

(*)

(Див. Статтю «Чудові межі»). Експонента має такі основні властивості: при будь-яких значеннях аргументу z мають місце рівності

.

1. Показова функція дійсного аргументу. У курсі математичного аналізу розглядається показова функція у = ах при позитивних значеннях а, не рівних 1 (). Вона пов'язана з основною експонентою формулою

Розглянемо її основні характеристики.

Показова функція у = а х визначена по всій числовій осі, позитивна, монотонна (при 0 1 – зростає), безперервна, нескінченно диференційована (при будь-якому значенні х має похідні всіх порядків).

Похідна та первісні показової функції знаходяться за формулами

.

Зокрема, для основної експоненти у = е х ці формули приймають особливо простий вигляд:

.

В околиці будь-якої точки своєї області визначення (тобто при будь-якому значенні х) експоненту можна розкласти в статечний ряд, наприклад:

(**)

---