Еквівалентність процентних ставок
Поняття еквівалентності використовувалося вище стосовно платежів. Тепер поширимо його на відсоткові ставки. Як було показано раніше, для процедур нарощення та дисконтування можуть застосовуватись різні види відсоткових ставок. Визначимо тепер ті значення, які у конкретних умовах призводять до однакових фінансових результатів. Інакше висловлюючись, заміна одного виду ставки в інший за дотримання принципу еквівалентності не змінює відносини сторін у межах однієї операції. Для сторін, що беруть участь у угоді, загалом байдуже, який вид ставки фігурує в контракті. Такі ставки назвемоеквівалентними.
Проблема еквівалентності ставок вже торкалася гол. 2 щодо ефективної ставки відсотка. Там було показано, що річна ефективна ставкаiеквівалентна номінальній ставціjпри нарахуванні відсотківтраз на рік. Розглянемо тепер проблему еквівалентності ставок повніше та систематизовано. Спочатку співвідношення еквівалентності простих ставок, потім простих і складних, далі еквівалентність різного виду складних ставок, нарешті деякі співвідношення еквівалентності дискретних і безперервних ставок.
Формули еквівалентності ставок завжди отримаємо виходячи з рівності взятих попарно множників нарощення. Наведемо лише один приклад. Визначимо співвідношення еквівалентності між простою та складною ставками нарощення. Для цього прирівняємо один до одного відповідні множники нарощення:
деisіi- Ставки простих і складних відсотків.
Наведена рівність передбачає, що початкові та нарощені суми при застосуванні двох видів ставок ідентичні (рис. 3.4). Рішення дає такі відносини еквівалентності ставок:
(3.9) (3.10)
Аналогічновизначимо та інші, наведені нижче співвідношення еквівалентності ставок.
Еквівалентність простих відсоткових ставок> 365 днів. Якщо тимчасові бази однакові, то з рівності відповідних множників нарощення випливає:
(3.11) (3.12)
де:п -термін у роках;
d -облікова ставка.
Приклад 3.12. Вексель враховано за рік до дати його погашення за обліковою ставкою 15%. Яка прибутковість облікової операції у вигляді процентної ставки? За формулою (3.11) знаходимо:
is= = 0,17647, або 17,647%.
Інакше висловлюючись, операція обліку по облікової ставці 15% протягом року дає той самий дохід, як і нарощення за ставкою 17,647%.
З наведених формул та прикладу випливає, що для однакових умов операції справедлива нерівністьd
i =(1+j/m) m- 1;(3.23) (3.24)
(3.25) (3.26)
деdc-складна облікова ставка.
Наведемо ще кілька корисних співвідношень, які неважко отримати на основі формул (3.25) та (3.26). Нагадаємо, щоv= (1 +i) -1 :
Зауважимо, що у залежностях (3.23) — (3.29) термін не відіграє жодної ролі.
Приклад 3.15. При розробці умов контракту сторони домовилися про те, що дохідність кредиту має становити 24% річних. Яким має бути розмір номінальної ставки при нарахуванні відсотків щомісяця, поквартально?
Еквівалентність складних дискретних та безперервних ставок. Теоретично можна знайти співвідношення еквівалентності між силою росту та будь-якою дискретною процентною ставкою. Однак у цьому, мабуть, немає потреби. Обмежимосядекількома такими співвідношеннями, необхідність яких може виникнути у практичних розрахунках.
Еквівалентність та i.З рівності випливає:
(3.30) (3.31)
Еквівалентність та j:
(3.32) (3.33)
Еквівалентність і dc.З рівності випливає:
(3.34) (3.35)
Наведемо ще одне корисне співвідношення:
Приклад 3.16. Яка безперервна ставка замінить поквартальне нарахування відсотків за номінальною ставкою 20%? Згідно з формулою (3.33) знаходимо
= 4 x ln(1 + 0,2) = 0,19516, чи 19,516%.
Формули еквівалентності дискретних та безперервних ставок дозволяють розширити сферу застосування безперервних відсотків. Як мовилося раніше вище, безперервні відсотки у багатьох складних розрахунках дають можливість значно спростити викладки. Водночас такі ставки незвичні для практика, тому після використання у розрахунках формул безперервних відсотків неважко за допомогою формул еквівалентності уявити отримані результати у вигляді загальноприйнятих дискретних характеристик.
Середні відсоткові ставки
Проблема еквівалентності ставок у деяких випадках може бути вирішена за допомогою розрахунку середніх значень ставок. Якщо йдеться про одну фінансову операцію, в якій розмір ставки змінюється в часі, то всі значення ставки можна узагальнити за допомогою відповідної середньої. Причому заміна всіх значень ставки на середню ставку не повинна змінити результати нарощення або дисконтування.
Шукані середні отримаємо при прирівнюванні множників нарощення один до одного. Почнемо із простої ставки. Нехай за періодиn1,n2.nkнараховуються прості відсотки за ставкамиi1,i2.ik, тоді на основі рівності множників нарощення:
;
деN =- загальний термін нарощення;
- Середня ставка;
отримаємо шукану середню:
Знайдена характеристика є арифметичну середню зважену з вагами, рівними тривалості окремих періодів.
Аналогічним способом отримаємо середню облікову ставку:
Приклад 3.17. Контракт передбачає змінну за періодами ставку простих відсотків: 20; 22 та 25%. Тривалість періодів: два, три та п'ять місяців. Який розмір ставки спричинить аналогічне нарощення вихідної суми? Знаходимо середню:
Якщо усереднюються змінні у часі ставки складних відсотків, то з рівності множників нарощення
(3.36)
Середня у цьому випадку, як бачимо, обчислюється як виважена середня геометрична.
Приклад 3.18. Припустимо, для перших двох років позички застосовується ставка, що дорівнює 15%, для наступних трьох років вона становить 20%. Середня ставка за весь термін позики дорівнює
чи 17,974%.
Розглянемо тепер усереднення ставок, що застосовуються у кількох однорідних операціях, які відрізняються сумою боргуPtі ставкою відсоткаit. Шукані середні ставки знаходимо з умови рівності відповідних сум після нарощення відсотків. Так, якщо застосовуються прості ставки та терміни цих операцій однакові, то можна записати наступну вихідну рівність:
(3.37)
Як бачимо, шукана ставка дорівнює виваженій арифметичній середній; як ваги беруться розміри позичок.
Усереднення складних ставок для тих же умов досягається за допомогою зваженої статечної середньої:
(3.38)
Приклад 3.19. Видано дві позички:Р1=1 млн. руб.,P2 = 2 млн. руб. Першу видано під 20% річних, другу — під 30%, строки позик однакові й дорівнюють півтора.років. Якщо ставки прості, то:
= 0,2667.
Для складних ставок знаходимо:
= 0,2671.
Формули (3.37) і (3.38) отримані для окремого випадку, коли строки позик однакові. У загальніших випадках вони, зрозуміло, не працюють. Вирішення відповідних завдань можливе на основі методів, розроблених для так званих потоків платежів. Ці методи обговорюються у розділі книги.
Розділ 2Потоки платежів