Елемент Шеффера
Елемент Шеффера (елемент І-НЕ) - реалізує операцію логічне множення із запереченням. На виході сигнал "1" має місце завжди, крім випадку, коли сигнали "1" на всіх входах збігаються (рис. 6.11).
Логічне рівняння роботи елемента Шеффера:
(6.6.)
Малюнок 6.11. Умовне позначення, таблиця станів
Елемент Пірса (елемент АБО-НЕ) - реалізує операцію логічне додавання з запереченням. На виході сигнал "1" має місце лише у випадку, якщо на всіх входах одночасно буде сигнал "0" (рис.6.12).
Логічне рівняння роботи елемента Пірса:
. (6.8)
Тому логічну схему елемента Пірса можна подати малюнком 6.12.
Малюнок 6.12. Умовне позначення та таблиця станів
Приклад 6.2. Відповідно до теореми Моргана маємо:. Звідси випливає, що операцію логічного додаванняХ1 + Х2можна замінити операцією логічного множення над інверсними значеннями змінних, а потім до результату застосувати операцію інверсії і цим виключити елемент АБО.
Реалізація операції АБО на елементах І, НЕ:
Отже, системи, які з двох елементів (АБО, НЕ чи І, НЕ), також є функціонально повними системами і містять мінімальний логічний базис.
6.7. Базис < , Å>
Цей базис утворений двома функціями -кон'юнкцією( ) ісумою по mod2(Å), і, відповідно, функціонально повний набір елементів складається з багатовхідних елементів І та багатовходових елементів «суматорів по mod2» . І ті, й інші елементи розглядалися вище. Якщо врахувати вираз функції«додавання по mod2» через операції кон'юнкції, інверсії та диз'юнкції, можна зрозуміти, як реалізується інверсія. Наприклад, вираз двомісної функції «складання по mod2» має такий вигляд:
Y=aÅb= .
Якщо покластиb= 1 і зробити підстановку цього значення наведене вираз, то отримаємо
Y=aÅ 1 = .
Таким чином, якщо один вхід елемента 2Å постійно подати сигнал лог.1, то елемент виконуватиме функцію інверсії (елемента НЕ). А якщо покластиb= 0, тобто на один із входів елемента подати сигнал лог.0, то двовходовий суматор mod2 буде виконувати функціюповторення(грати роль повторювача).
Використовуючи визначення функції додавання по модулю два, можна отримати алгебраїчні вирази основних співвідношень, необхідних для переходу з базису в базис < , Å>:
аÅ 0 =а;аÅ 1 =;аÅа= 0;
аÅ = 1;a+b=аÅbÅab. (6.9.)
У виразах (6.9.) під аргументамиаіbможна розуміти як прості змінні, а й складні логічні висловлювання (функції).
Слід зазначити, що сума по mod2 одного і того ж аргументу, взятого парне число разів, дорівнює нулю, якщо ж аргумент підсумовується непарне число разів, то сума по mod2 дорівнюватиме самому аргументу. Тому в літературі вживається інша назва цієї функції - «згорткапо mod2».
Приклад 6.3. Розглянемо приведення функції мажоритарності «³2 з 3-х» в базис < , Å>. Вихідний алгебраїчний вираз цієї функції має вигляд:
Використовуємо операцію виносу за дужки загальних співмножників та замінимо символи диз'юнкції черезоперації кон'юнкції та суми по mod2 згідно з виразами (6.9.). Тоді отримаємо
За отриманим виразом будуємо функціональну еквівалентну схему мажоритарного елемента в базисі < , Å>.
Малюнок 6.13. Схеми реалізації у базисі функцій:
НЕ (а), «повторення» (б), мажоритарності «?2 з 3-х» (в)
Ця схема та варіанти використання елемента 2Å як елемента НЕ і повторювача, а також реалізація функції 2АБО наведені на рис.6.13. На рис.6.13,ата рис.6.13,бпоказано, як реалізуються відповідно елемент НЕ і повторювач, а на рис.6.13,в- мажоритарний елемент . Зокрема, фрагмент схеми елементів D1 і D3 ілюструє реалізацію елемента 2АБО. Крім того, на цьому ж малюнку показані способи реалізації шин лог.1 та лог.0.
Причому один елемент 2І залишиться невикористаним. Однак у даному випадку номенклатура мікросхем включає мікросхеми двох типів. І це можна вважати деяким недоліком реалізації пристроїв у «багатофункціональних» базисах. Інакше кажучи, реалізація пристроїв на функціонально повних наборах, які з двох, трьох і т.д. різних типах логічних елементів, небажана через зниження ступеня уніфікації одержуваних пристроїв. Разом про те перехід від «простих» базисів, утворених лише однією функцією, до «складнішим», утвореним кількома простими функціями чи складнішими функціями, дозволяє значно спрощувати схемотехнічні рішення проектованих пристроїв.
Набагато простіше скористатися матричною формою завдання функцій, щоб перейти до надмірного базису < , Å, АБО. Характерною ознакою, за якою можна визначити можливість реалізації деякої функції з використанням функцій додавання по mod2,є розташування одиниць (чи нулів) у «шаховому порядку», тобто. у «не сусідніх» клітинах [19].
Попередньо зауважимо, що завдяки справедливому в алгебрі логіки закону тавтології (а+а+¼+а=атаа ·а·¼·а=а), складені шахові візерунки можуть частково перетинатися, і це слід враховувати при відшуканні мінімальних алгебраїчних виразів.
Оскільки вираз алгебри знаходиться за одиницями, то вираз функції слід записувати у вигляді диз'юнкції. Виділивши шаховий візерунок рис.6.14,а, помічаємо, що він розташовується повністю на області.
Малюнок 6.14. Знаходження алгебраїчного вираження функції логічного порогу в базисі < , Å, АБО.
Змінніbіcнабувають протилежних значень, тому цьому візерунку відповідає сума по mod2 названих аргументів, помножена на , тобто . Аналогічно за рис.6.14,бзнаходимо. Далі по рис.6.14,віготримаємо і відповідно. Таким чином, усі поодинокі значення функції покриті. Тепер можна записати повний вираз функції алгебри:
Y= + + +.
Застосуємо операцію виносу за дужки загальних співмножників, тоді отримаємо
Y= +.
У свою чергу в утворених скобкових виразах отримана сума по mod2, відповідно, аргументівa,dтаc,d. Остаточно отримуємо
Y= +.
На цьому прикладі ми розглянули ще один із методів приведення алгебраїчних виразів логічних функцій у заданий базис. Існують інші функціонально повні набори логічних елементів (і базиси логічних функцій). Додатковий матеріал з різних базисів можна знайти в [4].
В загальномуУ разі завдання приведення довільних логічних функцій у заданий чи необхідний базис досить складна і досі немає досить ефективних методів її вирішення.
Існують (в інтегральному виконанні) універсальні логічні модулі, які за своїми властивостями еквівалентні одному з функціонально повних наборів логічних елементів. Такі мікросхеми відносяться до ІМС середнього ступеня інтеграції і на них можна будувати будь-які логічні пристрої.
Ще дуже суттєве зауваження. Завдання уявлення довільних логічних функцій через інші, обрані певним чином логічні функції, відноситься дозавдання функціональної декомпозиції логічних функцій. Ця задача не має остаточного рішення, хоча існують деякі загальні підходи до її вирішення [ 5]. У зазначеній літературі можна знайти також відомості про класи логічних функцій, їх уявлення через інші функції та методи мінімізації логічних функцій.