Елементи симетрії додекаедра

Додекаедр має центр симетрії та 15 осей симетрії. Кожна осі проходить через середини протилежних паралельних ребер.
Додекаедр має 15 площин симетрії. Будь-яка з площин симетрії проходить у кожній грані через вершину та середину протилежного ребра.

Цікаві факти

Форму, близьку до додекаедру, має описана Ернстом Геккелем в 1887 році радіолярія Circorrhegma dodecahedra [10] .
У 2003 році, при аналізі даних космічного апарату WMAP, була висунута гіпотеза, що Всесвіт являє собою додекаедричний простір Пуанкаре [11] [12] [13] .

У культурі

Додекаедр застосовується як генератор випадкових чисел (разом з іншими кістками) в настільних рольових іграх, і при цьому позначається d12 (dice — кістки).
Виготовляються настільні календарі у формі додекаедра з паперу, де кожен із дванадцяти місяців розташований на одній із граней.
У грі Пентакор світ представлений у вигляді цієї геометричної постаті.
В іграх "Сонік 3" та "Сонік і Кнаклз" вид додекаедра мають смарагди хаосу.

Ікосаедр

Ікосаедр

Тип	Правильний багатогранник
Грань	Правильний трикутник
Граней
Ребер
Вершин
Граней при вершині
Група симетрії	Ікосаедрична (Ih)
Подвійний багатогранник	додекаедр

Ікосаедр та його описана сфера

Ікосаедр (від др.-грец. εἴκοσι «двадцять»; ἕδρον «сидіння», «основа») — правильний опуклий багатогранник,двадцятигранник [1] , одне зПлатонових тел. Кожна з 20 граней є рівностороннім трикутником. Число ребер дорівнює 30, число вершин - 12. Ікосаедр має 59 зірчастих форм.

Зміст

1 Історія
2 Основні формули
3 Властивості
4 Усічений ікосаедр
5 У світі

5.1 Тіла у вигляді ікосаедра

6 Див.

7 Примітки

8 Література

Історія

Евклід у реченні 16 книги XIII «Початок» займається побудовою ікосаедра, отримуючи спочатку два правильні п'ятикутники, що лежать у двох паралельних площинах — з десяти його вершин, і потім — дві протилежні одна одній вершини [2][3]:127-131 . Папп Олександрійський в «Математичних зборах» займається побудовою ікосаедра, вписаного в цю сферу, принагідно доводячи, що дванадцять його вершин лежать у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в них чотири правильні трикутники [4] [3]: 315-316.

Основні формули

Площа поверхніS, обсягVікосаедра з довжиною ребраa, а також радіуси вписаної та описаної сфер обчислюються за формулами:

Радіус вписаної сфери [5] :

Радіус описаної сфери [5] :

Властивості

Усі дванадцять вершин ікосаедра лежать по три в чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний трикутник.
Десять вершин ікосаедра лежать у двох паралельних площинах, утворюючи в них два правильні п'ятикутники, а решта дві — протилежні один одному і лежать на двох кінцях діаметра описаної сфери, перпендикулярного цим площинам.
Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому шість взаємно перпендикулярних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра будуть лежати на шести гранях куба
В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, так що чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами ікосаедра.
Ікосаедр можна вписати в додекаедр, при цьому вершини ікосаедра будуть поєднані з центрами граней додекаедра.
В ікосаедр можна вписати додекаедр із поєднанням вершин додекаедру та центрів граней ікосаедра.
Усічений ікосаедр може бути отриманий зрізанням 12 вершин з утворенням граней у вигляді правильних п'ятикутників. У цьому число вершин нового багатогранника збільшується вп'ятеро (12×5=60), 20 трикутних граней перетворюються на правильні шестикутники (всього граней стає 20+12=32), а число ребер зростає до 30+12×5=90.
Зібрати модель ікосаедра можна за допомогою 20 тетраедрів.
Неможливо зібрати ікосаедр з правильних тетраедрів, так як радіус описаної сфери навколо ікосаедра, відповідно і довжина бічного ребра (від вершини до центру такого складання) тетраедра менше ребра самого ікосаедра.

Усічений ікосаедр

Молекула фулерену C60 - усічений ікосаедр

Усічений ікосаедр - багатогранник, що складається з 12 правильних п'ятикутників і 20 правильних шестикутників. Має ікосаедричний тип симетрії. По суті футбольний м'яч має форму не кулі, а усіченого ікосаедра.