Фактор-групи

Суміжні класи

Інваріантні (нормальні) підгрупи

Група H називаєтьсяпідгрупою групи G, якщо вона складається з елементів групи G і сама є групою.

Елемент c=b -1 ab називаєтьсятрансформацією елемента з допомогою елемента b. При цьому елементи і називаютьсясполученими.

b -1 -зворотний елемент для b.

Тут і b - елементи групи, а звичайне (непозначається) множення, фактично, групова операція.

Якщо b -1 a b = а, то ab = ba (бо дана група абелева, отже, коммутативна).

Доказ: помножимо b -1 ab = a зліва і праворуч від знака рівності на b:

Теорема: Трансформація розбиває групу на класи сполучених елементів.

Доказ:

1. Рефлексивність: a = 1 -1 a1

2. Симетричність: c = b -1 ab Þ

bcb -1 = bb -1 abb -1

(b -1 ) -1 cb -1 = a ,нехай B = b -1

B -1 cB = a, тобто. якщо а - трансформація с, то з - трансформація а

3. Транзитивність: c = b -1 ab, c = d -1 cd

e = D -1 aD bdd -1 b -1 = 1, (bd) -1 (bd) = 1 d -1 b -1 = (bd) -1

Теорема: Трансформація підгрупи H елементом bG є підгрупа групи G, ізоморфна Н.

Доказ:

2. b -1 1b = 1 (тобто 1 вихідної групи залишається 1 отриманої групи)

a -1 = (b -1 xb) -1 = b -1 x -1 (b -1 ) -1 = b -1 x -1 b

Тобто. в результаті (1-3) ми отримуємо групу, причому ця процедура зберігає функціональність, сюр'єктивність, всюди визначеність, ін'єктивність, тобто. отримана група ізоморфна вихідною.

a 2

b ba 2 = ab

I a

Підгрупа До групи G називаєтьсяінваріантною(Нормальної), якщо трансформація будь-якого елемента підгрупи До за допомогою будь-якого елемента цієї групи дає знову елемент підгрупи До.

K = < I, a, a 2 - підгрупа деякої групи G

ab = ba 2 = ba -1 ( або a 2 × a = I / * a -1 , a 2 aa -1 = Ia -1 , a 2 = a -1 )

b -1 ab = b -1 ba -1

b -1 ab = a -1 ( = a 2 ) - трансформація елемента з допомогою елемента b і є елемент групи.

5.4. Група Діедра (D3)

D3 =

Для цієї групи будуть наступні визначальні співвідношення:

a 3 = b 2 = (ba) 2 = I

b

Таблиця множення цієї групи:

а

I	a	a 2	b	ba	ba 2
I	I	a	a 2	b	ba	ba 2
a	a	a 2	I	ba 2	b	ba
a 2	a 2	I	a	ba	ba 2	b
b	b	ba	ba 2	I	a	a 2
ba	ba	ba 2	b	a 2	I	a
ba 2	ba 2	b	ba	a	a 2	I

У кожному рядку та кожному стовпці елементи не повторюються.

a. H = нехай f(I) = f(b) = I - деякий гомоморфізм

a = Ia = (ba) 2 a = babaa = baba 2

f(a) = f(baba 2 ) = f(b) f(a) f(a) f(b 2 ) = f(a)f(a 2 ) = (за припущенням f(b) = I )

f(a 2 ) = f(a) f(a) = I I = I

f(ba) = f(b) f(a) = I I = I

f(ba 2 ) = f(b) f(a 2 ) = I I = I

Тобто. всю групу D3 можна відобразити водиничний елемент.

f(I) = f(a) = f(a 2 ) = I

f(ba 2 ) = f(b) = f(b)f(b) = f(b 2 ) = I

Групи, що мають єдиний (відмінний від одиниці) елемент такий, що якийсь ступінь цього елемента дає I, називається циклічною групою n-го ступеня.

Якщо якоїсь групи ми здійснюємо гомоморфне відображення, причому якась її підгрупа цілком відображається в одиничний елемент групи, то така підгрупа є ядро ​​гомоморфізму. Позначається f-1 (I).

aH – суміжний (лівий) клас для Н, якщо всі елементи Н зліва помножені на а.

Усі одержувані елементи різні між собою.

Теорема (Лагранжа) : Порядок кінцевої групи кратний порядку будь-якої його підгрупи.

Підгрупа ( групи G ) є інваріантна для G, якщо відповідні суміжні класи для неї збігаються.

Якщо група комутативна, вона інваріантна.

Ядро гомоморфізму є нормальною підгрупою.

Сумежні класи групи G за її нормальною підгрупою До утворюють групу.

---