Фізика + математика
Методичні рекомендації щодо викладу тем «Механічні коливання», «Енергія вільних коливань». 10 клас. Профільний рівень
Невід'ємною частиною механіки, значення якої важко переоцінити, є «Коливання». Її освоєння сприяє більш глибокого і повного розуміння суті фізичних процесів різної природи, багато в чому дозволяє здійснити перенесення вміння вирішувати математичні завдання на розв'язання задач фізичних. Але ж проблема такого перенесення, на наш погляд, є однією з найскладніших у викладанні фізики.
Проте вивчення теми «Гармонічні коливання», як, мабуть, жодної іншої у шкільному курсі фізики, ускладнюється наявними невідповідностями програм фізики та математики. Це стосується і змісту матеріалу 9-го та 10-го класів. Наприклад, в 9-му класі успішне проходження тестування передбачає знання учнями графіка залежності координати тіла, що коливається, від часу і вміння визначати по ньому період коливань, а також знання графіка залежності координати точки, до якої дійшло обурення, від відстані до джерела коливань і вміння визначати по йому довжину хвилі. Однак у курсі математики графіки функцій синуса і косинуса на той час ще вивчені. Тому необхідно, на наш погляд, знайти час на уроці, щоб провести аналогії між рухом матеріальної точки по колу з постійною за модулем швидкістю та коливальним рухом, пояснивши тим самим хоча б якісно вид графіків синусоїдальної та косинусоїдальної залежностей.
У 10-му класі в цьому сенсі справа не краща. Більшість проблем знімається, якщо дотримуватися тієї послідовності викладу матеріалу, що пропонується у підручниках Г.Я.Мякишева, Б.Б.Буховцева, де вивчення механічних коливань переноситься на11-й клас і випереджає вивчення електромагнітних коливань. Зрозуміло, однак, що при цьому порушується цілісність викладу матеріалу з механіки.
Отримання рівнянь залежності кінематичних величин від часу при гармонійних коливаннях за допомогою координатного способу опису обертального руху, або Як уникнути похідних
У курсі фізикиВ.А.Касьянова, за яким я працюю, рівняння залежності координати, швидкості та прискорення від часу при гармонійних коливаннях вводяться вже в 10-му класі шляхом проведення аналогії між коливальним рухом та рівномірним рухом по колу що дозволяє обійтися без поняття похідної (цьому присвячена друга частина § 18). Зрозуміло, що для коливань, що починаються із положення максимального зміщення, рівняння залежності координати, проекції швидкості та проекції прискорення від часу мають вигляд:
х = Асоst;
x = -Asint= -sint;
аx = -cost= -acost.
Однак у § 18 розглядається лише координатахі відповідно проекції швидкості та прискорення на вісьХ. Це призводить до невірного уявлення учнів про те, що координата тіла, що коливається, може змінюватися тільки за законом косинуса, а проекція швидкості - тільки за законом синуса.
Необхідно пояснити, що вибір функції визначається початковими умовами: якщо коливання починаються із положення рівноваги (х0 = 0), то процес описується синусом, а якщо коливання починаються із положення максимального зміщення (х0 =А), то косинусом. У першому випадку координата тіла, що коливається, змінюється так само, як координатаупри рівномірному русі точки по колу:y=Asint.
Відповіднопроекція швидкості залежить від часу за закономy=cos =cost=Acost(див. малюнок).
Залежність проекції прискорення вісьувід часу легко визначається з рисунка:
ay = -asin = -sint.
Незважаючи на те, що останнє рівняння дає однозначну залежність прискорення коливального руху від часу, повного розуміння, як показала практика, того, що коливання - це прискорений рух, але не рівноприскорений, у багатьох учнів немає. (Велика інерційність мислення: майже півроку вивчали лише два види руху – рівномірний та рівноприскорений.) Вкрай необхідно тому, на наш погляд, у ході закріплення матеріалу включати завдання такого типу:
• За заданим рівняннямх= 0,1 соs 6,28tвизначте період, частоту, амплітуду коливань матеріальної точки масою 200 г. Запишіть рівняння залежності швидкості, прискорення та вимушальної сили від часу .
Відповідь. У СІ:х = -0,628 sin 6,28t;ах = -4 сos 6,28t;Fx =-0,8 сos 6,28t.
• Які з перелічених фізичних величин, що описують незатухаючі гармонійні коливання, змінюються у часі: частота, період, амплітуда, координата, швидкість, прискорення, імпульс, сила?
Відповідь. Перші три величини постійні, останні п'ять змінюються за гармонійним законом.
Графіки залежностей кінетичної та потенційної енергій пружинного маятника від подовження пружиних.При описі енергії вільних коливань у § 38 підручникаВ.А.Касьяновапредставлений графік залежності кінетичної та потенційної енергії пружинного маятника від координати - Подовження пружини. Жодних пояснень до нього не дається. ГрафікЕп(х) пояснюється учнями легко, виходячи зформулиЕп =kx2/2. Обернені вгору гілки параболи відповідають позитивному коефіцієнту приx2 , симетричність графіка щодо вертикальної осі вказує на однакове значення потенційної енергії у випадках розтягування та стиску при рівних змінах довжини пружини.
З погляду математики, графіком цієї залежності є парабола з гілками, зверненими вниз, вершина якої зміщена вертикальної осі вгору на величину, рівну значенню повної енергії.
Легко пояснити і фізичне значення цього графіка. При проходженні тілом положення рівноваги його потенційна енергія набуває мінімального значення, тоді як кінетична стає максимальною. При найбільшому зміщенні маятника від рівноваги – навпаки. Зі зростанням значення одного виду енергії значення іншого виду зменшується у повній відповідності до закону збереження повної механічної енергії.
Графіки залежності кінетичної та потенційної енергії від часу. Говорячи про залежність енергії коливань пружинного маятника від подовження пружини, було б, на наш погляд, непослідовно не зупинитися і на залежності кінетичної та потенційної енергій коливальної матеріальної точки від часу. Щоправда, для математичного обгрунтування цього графіка необхідно використати формули приведення з тригонометрії: cos 2 = (1 + cos2)/2; sin 2 = (1 – cos2)/2.
Ці формули в середині року десятикласники можуть ще не знати. Тим краще вони запам'ятають їх щодо відповідної теми на математиці. Можна запропонувати школярам самостійно отримати рівняння залежності кінетичної та потенційної енергії від часу за допомогою формул приведення, а потім перевірити отриманий результат:
Еп =kx2/2 =kА2 соs 2t/2 =(kА2 /2)(1+ cos 2)/2 =Еп.макс/2 + (Еп.макс/2) cos 2t.
Отримали рівняння косінусоїди, зміщеної вгору по вертикальній осі на половину повної енергії і що має частоту, вдвічі більшу за частоти коливань координати, швидкості та прискорення.
Питання, чому вдвічі відрізняються названі частоти, також доцільно обговорити. Оскільки енергія залишається позитивною у процесі коливань, її період удвічі менший за період коливань координати, швидкості та прискорення.
Для закріплення матеріалу можна запропонувати такі завдання.
• Визначте значення потенційної енергії тіла, що коливається за графікомEк(t) в момент, відповідний будь-якій точці.
Рішення. За графіком визначаємо амплітуду коливань кінетичної енергії та значення цієї енергії у цей момент часу (у цій точці). Різниця цих значень дорівнює потенційній енергії тіла.
• Рівняння коливань вантажу на пружині має виглядх= 0,2 соs 6,28t. У який момент часу від початку коливань кінетична енергія вантажу вдруге набуде максимального значення?
Рішення. З рівняння: = 6,28 рад/с;Т= 2/ = 1 с;Тк.макс = 0,5;t= 0,75 с.