Формула Гріна

Формула Гріна пов'язує подвійний інтеграл області D з криволінійним інтегралом по замкнутому контуру L, що обмежує область D. Контур, в якому початкова і кінцева точки збігаються, називається замкнутим. Контур, вважається, позитивно орієнтований, якщо його обході область, обмежена цим контуром, залишається ліворуч. Криволінійний інтеграл за позитивно орієнтованим контуром L позначається так:

Нехай квадрована область D обмежена кривою L, яка є контуром першого і другого роду і нехай функції $P\left(x,y\right)\ $і $Q\left(x,y\right)$ та їх приватні похідні $\ frac$ і $\frac$ безперервні в замкнутій області D. Тоді криволінійний інтеграл можна переписати:

Ця теорема записана для універсальної області, це означає, що будь-яка пряма, яка паралельна координатним осям перетинає область не більше ніж у двох точках.

Можна записати формулу для складнішої області (рисунок 1).

гріна

Малюнок 1. Контур зі складною областю

Для цієї галузі формула Гріна перепишиться у вигляді:

За допомогою формули Гріна можна знайти формулу визначення площі плоскої фігури через криволінійний інтеграл.

Покладемо $Q\left(x,y\right)=x$, $P\left(x,y\right)=0$, звідси можна знайти приватні похідні:

Підставивши приватні похідні у формулу отримаємо:

Якщо $Q\left(x,y\right)=0$, $P\left(x,y\right)=-y$, то отримаємо такі приватні похідні:

Підсумовуючи два отримані рівняння, отримаємо формулу площі:

Спробуй звернутися за допомогою до викладачів

Знайти площу еліпса $x=acos\t$, $y=bsin\t$.

Для вирішення цього завдання скористаємося формула, яку ми вивели для знаходження площі плоскої фігури:

Знайдемо похідні наших функцій:

\[dx=-asin\t\] \[dy=bcos\t\]

Підставимо ці значення у формулу:

Значення $t$ змінюється в межах:

Підставимо межі інтегрування у формулу:

Площа дорівнює $S=pi ab$.

Користуючись формулою Гріна знайти:

Запишемо функції $P\left(x,y\right)=x^5-2x\$ і $Q\left(x,y\right)$=$3x+y^8$ і знайдемо їх приватні похідні:

Легко побачити, що похідні приватні безперервні в замкнутому контурі $x^2+y^2=r^2$. У зв'язку з цим можна скористатися формулою Гріна:

Підставимо до цієї формули приватні похідні наших функцій:

Знаючи формулу площі кола $S=pi r^2$, тоді:

Підставимо це значення замість нашого інтеграла, і отримаємо:

Задай питання фахівцям і отримай відповідь вже через 15 хвилин!