Фундаментальний тензор – це
Метричний тензор у локальних координатах зазвичай задається як підступне тензорне поле. Через нього визначаються скалярні твори координатних векторних полів:
А для будь-яких векторних полів, скалярний твір обчислюється за формулою
,
де , - Подання векторних полів в локальних координатах.
Іноді метричний тензор задається двоїстим способом, за допомогою контраваріантного тензораgij. У разі невироджених метрик
де символ Кронекера.
Так, обидва способи еквівалентні, але обидва уявлення метрики бувають корисними. Для вироджених метрик іноді зручніше скористатися саме контраваріантною метрикою. Наприклад, субриманова метрика може бути визначена через тензорgij, але тензорgijдля неї невизначений.
Подання в полі реперів
Іноді зручно задавати метричний тензор через обране (не обов'язково координатне, як описано вище) поле реперів. Тобто вибором реперного поля та матриці.
Наприклад, риманів метричний тензор може бути заданий ортонормованим полем реперів [1] .
Індукована метрика
Метрика, яка індукується гладким вкладеннямrрізноманіттяMв евклідовий простірEможе бути порахована за формулою:
деJrозначає матрицю Якобі вкладенняrі транспонована до неї. Інакше висловлюючись, скалярні твори базисних координатних векторів дотичного простору визначаються як
де позначає скалярний добутокE.
Більше загально
Нехай (N,h) різноманіття з метрикою та гладке вкладення. Тоді метрикаgнаM, визначена рівністю
називаєтьсяіндукованою метрикою. Тутdrозначає диференціал відображенняr.
Типи метричних тензорів
Безліч метричних тензорівgподіляється на два класи:
- невироджені чи псевдоріманові метрики, коли у всіх точках різноманіття. Серед невироджених метричних тензорів, у свою чергу, різняться
- риманів метричний тензор(абориманова метрика) для якого квадратична форма є позитивно визначеною. Різноманітність із виділеним римановим метричним тензором називається римановим, вони мають природну структуру метричного простору.
- власне псевдориманів метричний тензор(абоіндефінітна метрика), коли форма не є позитивно визначеною. Різноманітність із виділеним псевдоріамоновим метричним тензором називається (власне) псевдорімановим.
- Зокрема, метрика Лоренца.
Зазвичай під метричним тензором без спеціальної те що вказівки розуміється риманов метричний тензор; але якщо, розглядаючи невироджений метричний тензор, хочуть підкреслити, що йдеться саме про римановий, а не псевдорімановий метричний тензор, то про нього говорять як про власне римановий метричний тензор.
Іноді під псевдорімановим тензором і псевдоримановим різноманіттям розуміють те, що вище визначено як власне псевдоріманові метрика та різноманіття, а для перших зберігається лише термін «невироджена метрика» і відповідно «різноманіття з невиродженою».метрикою».
Пов'язані визначення
- Вектор нульової довжини у просторі з псевдорімановою метрикою називаєтьсяізотропним(також нульовим або світлоподібним) і задає певнийізотропний напрямокна різноманітті; наприклад, світло у просторово-часовому континуумі подорожує вздовж ізотропних напрямів.
- Різноманітність з виділеним римановим метричним тензором називається ріманове різноманіття
- Різноманітність із виділеним псевдоримановим метричним тензором називається псевдоримановим різноманіттям
- Ріманів метричний тензор може бути введений на будь-якому паракомпактному гладкому різноманітті.
- Ріманов метричний тензор індукує на різноманітті природну структуру метричного простору
- Індефінітна метрика не породжує метричного простору. Однак на її основі може бути, принаймні в деяких випадках, спеціальним чином побудована топологія (див. Топологія Александрова), яка взагалі не збігається з природною топологією різноманіття.
Метрика та обсяг
Визначник матриці метричного тензора detgij> дає квадрат об'єму паралелепіпеда, натягнутого на базисні вектори. (В ортонормованих базис це одиниця).
Тому величина відіграє важливу роль при обчисленні обсягів, а також інтегруванні за обсягом. Зокрема, входить до загального виразу тензора Леві-Чивіти, використовуваного для обчислення змішаного твору, векторного твору та їх багатовимірних аналогів.
Інтегрування ж за обсягом включає цей множник, наприклад, при необхідності проінтегрувати в координатах якийсь скаляр (щоб результат був інваріантним):
деdΩ - це елементn-мірного обсягу, аdxi- диференціали координат.
- Для підбагаток обсяг (площа) визначається як обсяг (площа) щодо індукованої метрики.
- Метричний тензор на евклідовій площині:
- У прямокутних декартових координатах одиничного масштабу метричний тензор постійний (не залежить від координат) і представлений одиничною матрицею (його компоненти дорівнюють символу Кронекера)
- У прямокутних декартових координатах непоодинокого масштабу метричний тензор представлений постійної (не залежить від координат) діагональної матрицею, ненульові компоненти якої визначаються масштабом кожної осі (власне кажучи де вони рівні).
- У косокутних декартових координатах метричний тензор постійний (не залежить від координат) і позитивно визначений, але в іншому, взагалі, представлений довільною симетричною матрицею.
- У полярних координатах: (r,θ)
- Метричний тензор для тривимірного евклідового простору:
- У прямокутних декартових координатах одиничного масштабу метричний тензор постійний (не залежить від координат) і представлений одиничною матрицею (його компоненти дорівнюють символу Кронекера)
- У прямокутних декартових координатах непоодинокого масштабу метричний тензор представлений постійної (не залежить від координат) діагональної матрицею, ненульові компоненти якої визначаються масштабом кожної осі (власне кажучи де вони рівні).
- Укосокутних декартових координат метричний тензор постійний (не залежить від координат) і позитивно визначений, але в іншому, взагалі кажучи, представлений довільною симетричною матрицею.
- У сферичних координатах: (r,θ,φ):
- Метрика Лоренца (Метрика Мінковського).
- Метрика Шварцшильда
Ізоморфізм між дотичним та кокасним простором
Метричний тензор встановлює ізоморфізм між дотичним простором і кокасним простором: нехай - вектор з дотичного простору, тоді для метричного тензораgнаM, ми отримуємо, що , тобто відображення, яке перекладає інший вектор доg(v,w) , є елементом дуального простору лінійних функціоналів (1-форм) . Невиродженість метричного тензора перетворює це відображення на біекцію, а той факт, що сам по собі є тензор, робить це відображення незалежним від координат.
Для тензорних полів це дозволяє «піднімати та опускати індекси» у будь-якого тензорного поля (жаргонне назва — «жонглювання індексами»). У компонентах операція підняття-опускання індексу виглядає так:
- опускання індексу для вектора, - підняття індексу для вектора, - приклад одночасного підняття індексуjта опускання індексуnдля тензора великої валентності.
(До скалярів ця операція, звичайно, не застосовується).
Для тензороподібних об'єктів (які не є тензорами), як символи Крістоффеля, перетворення контраваріантних компонентів в коваріантні і назад визначається, як правило, так само як і для тензорних. За бажання жонглювання можна застосувати і до матриць Якобі, тільки в цьому випадку потрібно простежити за тим, що метрика для підняття-опусканняПерший індекс буде, звичайно, взагалі кажучи відрізнятися від метрики для такої ж операції з другим.