Функції (стор. 1 із 3)
Поняття функції – одне з найважливіших понять математики. Нехай дані дві множини Х і У і кожному елементу х Х поставлений у відповідність єдиний елемент у У, який позначений через f (х). У цьому випадку говорять, що на множині Х задана функція f і пишуть:
Наприклад, нехай Х = , У = і функцію f:Х ®У визначено так:
f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = d.
Наочно цю функцію можна представити так: множини Х і У зобразимо у вигляді областей, елементи множин – у вигляді крапок, а встановлена відповідність – у вигляді стрілок:
Ідея функціональної залежності зародилася в античній математиці, але вона ще не була явно виражена і не була самостійним об'єктом дослідження, хоча і було відоме широке коло конкретних функціональних відповідностей, що систематично вивчалися. У зародковій формі поняття функції з'являється в працях вчених у середні віки, але лише у роботах математиків 17 століття, і насамперед П. Ферма, Р. Декарта, І. Ньютона та Г. Лейбніца, це поняття стало оформлятися як самостійне. Термін «функція» вперше виник Г. Лейбніца. Для завдання функції використовувалися геометричні, аналітичні та кінематичні концепції, але поступово почало превалювати уявлення про функцію як про деякий аналітичний вираз. У чіткій формі це було сформульовано у 18 столітті. І. Бернуллі належить визначення, що «функцією змінної величини ... називається кількість, складене будь-яким способом з цієї змінної величини і постійних». Л. Ейлер, прийнявши це визначення, замінив у ньому слово "кількість" словами "аналітичний вираз". Дещо пізніше у Л. Ейлера з'явився вже і більш загальний підхід до поняття функції як залежності однієї змінної величини від іншої. Ця точка зору отрималасвій розвиток у працях Ж. Фур'є, Н.І. Лобачевського, П. Діріхле, Б. Больцано, О. Коші, де стало викристалізовуватися уявлення про функцію як про відповідність між двома числовими множинами. Так було в 1834 року М.І. Лобачевський писав: «Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається кожному за х разом із х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, що подає засіб випробовувати всі числа та вибрати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати та залишатися невідомою». Визначення функції як відповідності між двома довільними (не обов'язково числовими) множинами у 1887 році було сформульовано Р. Дедекіндом.
Поняття відповідності, а отже, і поняття функції іноді зводиться до інших понять (множини, відношення або інших теоретико-множинних та логіко-математичних концепцій), а іноді приймається за первинне, невизначене поняття, оскільки, як це висловив, наприклад, А. Черч : «У кінцевому підсумку поняття функції – чи якесь подібне поняття, наприклад, поняття класу, - доводиться вважати початковим, чи невизначеним».
Нижче розглядається поняття функції, засноване на понятті множини та найпростіших операцій над множинами.
Нехай дано дві множини Х і У. Всяка множина f = упорядкованих пар (х; у), х Î Х, у ÎУ, така, що для будь-яких пар (х¢; у¢) Îf і (х¢¢; у¢¢ ) Îf з умови у¢¹у¢¢ випливає, що х¢¹ х¢¢, називається функцією, або, що те саме, відображенням з Х в У.
У розглянутому вище прикладі функція являє собою таку множину впорядкованих пар: f = . Таким чином, функція є не що інше, як специфікація підмножини декартового твору Х
Безліч всіхперших елементів упорядкованих пар (х; у) деякої функції f називається областю визначення цієї функції і позначається Хf, а множина всіх інших елементів – безліччю значень функції, що позначається Уf. Якщо f = є функція, то пишуть f: Хf ® У і кажуть, що f відображає безліч Хf у безліч У. У разі Х = Хf пишеться просто f: Х®У.
Якщо f: Х®У – функція і (х; у) Îf, то пишуть у = f(х), а також f: х
х Î Х, у Î У, і кажуть, що функція f ставить у відповідність елементухелементуабо, що теж саме , елементувідповідає елементух. У цьому випадку також говорять, що елементує значенням функції f у точціхабо образом елементахпри відображенні f.
Іноді функція f позначається символом f(х). Позначення функції f:Х®У та її значення у точці х Î Х одним і тим самим символом f(х) зазвичай не призводить до непорозуміння, тому що в кожному конкретному випадку, як правило, завжди буває ясно, про що саме йдеться. Позначення f(х) часто виявляється зручнішим за позначення f:х
Згадаймо ще, що бінарне відношення з множини Х до множини У ми визначили як усяку підмножину декартового твору Х
При заданому у Î У сукупність всіх таких елементів х Î Х, що
f(х) = у називається прообразом елемента і позначається f -1 (у). Таким чином,
Вочевидь, що й у Î У\ Уf , то f -1 (у) = Æ.
Сюр'єкції, ін'єкції та бієкції
Нехай задано відображення f:Х ® У. Інакше кажучи, кожному елементу х Î Х поставлений у відповідність і до того ж єдиний елемент у Î У, і кожен елемент у Î Уf Í У поставлений у відповідність хоча б одному елементу х Î Х. Якщо У = Х, то кажуть, що відображення f відображаєбезліч Х у собі. Якщо У = Уf, тобто. множина У збігається з безліччю значень функції f, то кажуть, що f відображає множину Х на множину У, або що відображення f єсюр'єктивнимвідображенням, коротшесюр'єкцією. Таким чином, відображення f:Х ® У є сюр'єкція, якщо для будь-якого елемента у У існує, принаймні, один такий елемент х Х, що f(х) = у.
1. Функція f:R®R, f(х) = х 2 не є ні ін'єкцією, ні сюр'єкцією, оскільки різним елементам, наприклад, х¢ = 2 і х¢¢ = -2 відповідає однаковий образ 4, і будь-яке негативне дійсне число не є чином для жодного з елементів області визначення.
2. Функція f: ®, задана таким чином: f(а) = b, f(b) = g, f(c)=
Ця функція ін'єктивна, тому що в неї для жодної пари елементів області визначення образи не збігаються, але сюр'єкцією ця функція не є, тому що елемент d множини У не є способом будь-якого елемента множини Х.
3. З іншого боку, функція g:®, визначена так g(a) = a, g(b) = a, g(c) = b, g(d) = d, g(e) = g є сюр'єктивною та не є ін'єктивною.
Ця функція сюр'єктивна тому, що кожен елемент множини У є чином, принаймні, одного елемента з множини Х, але ін'єктивною ця функція не є, тому що два елементи а і b області визначення мають один образ.
На практиці доказ того, що задана функція є ін'єктивною, як правило, буває простіше виробляти, використовуючи метод доказу за допомогою контрапозиції, згідно з яким доводиться, що для всіх х¢і х¢¢Î Х з рівності f(х¢)= f( х¢¢) випливає, що х¢= х¢¢. Звичайно, щоб показати, що функція не є ін'єктивною, нам достатньо знайти контрприклад, тобто знайти два різні елементи х1 і х2 Х, у яких образи рівні: f(х1) = f(х2).
4. Будь-яка лінійна функція f:R®R, f(x) = ax+b, (де а,b – фіксовані дійсні числа, а?0) є одночасно і ін'єктивною та сюр'єктивною, тобто. є бієкцією.