Гармонічні коливання та їх характеристики
МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Реферат з фізики на тему:
«Гармонічні коливання та їх характеристики»
студент групи К-11
доцент Маштакова В. А.
Гармонічні коливання та їх характеристики.
Коливанняминазиваються рухи або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процес широко поширені в природі та техніці, наприклад коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т.д. При коливальному русі маятника змінюється координата центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга і струм у ланцюга. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні та інші. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками та однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи. Наприклад, єдиний підхід до вивчення механічних та електромагнітних коливань застосовувався англійським фізиком Д. У. Релеєм (1842-1919), а А.Г. Столетовим, українським інженером-експериментатором П.М. Лебедєвим (1866-1912). Великий внесок у розвиток теорії коливань зробили: Л.І. Мандельштам (1879-1944) та його учні.
Коливанняназиваютьсявільними(абовласними), якщо вони здійснюються за рахунок спочатку досконалої енергії при подальшій відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему (систему, що здійснює коливання). Найпростішим типом коливань єгармонічні коливання- коливання, при яких величина, що коливається, зміняться з часом позакону синуса (косинусу). Розгляд гармонійних коливань важливий з двох причин:
1. Коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто мають характер, близький до гармонійного;
2. Різніперіодичні процеси(процеси, що повторюються через рівні проміжки часу) можна подати як накладення гармонійних коливань.
Гармонічні коливання величиниsописуються рівнянням типу
-А- максимальне значення коливається величини, званеамплітудою коливання,
- w0 -кругова (циклічна) частота,
- j -початкова фаза коливанняв момент часу t=0,
- (w0 t +j) -фаза коливанняу момент часу t.
Фаза коливання визначає значення коливається в даний момент часу. Так як косинус змінюється в межах від 1 до -1, тоsможе приймати значення від +Адо -А.
Певні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, званийперіодом коливання, протягом якого фаза коливання отримує збільшення дорівнює 2p, тобто.
Величина, обернена до періоду коливань,
т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань . Порівнюючи (2) та (3), отримаємо
Одиниця частоти -герц(Гц): 1 Гц - частота періодичного процесу, коли він за 1 секунду відбувається 1 цикл процесу.
Запишемо першу і другу похідні за часом від величини, що гармонічно коливаєтьсяs:
(4)
(5)
тобто маємо гармонійні коливання з тією самою циклічною частотою. Амплітуди величин (5) і (4) відповідно дорівнюють і .Фаза величини (4) відрізняється від фази величини (1) на p/2, а фаза величини(5) відрізняється від фази величини (1) на p. Отже, в моменти часу, коли s = 0, набуває найбільших значень; коли ж s досягає максимального негативного значення, то набуває найбільшого позитивного значення (див. рисунок 1).
З виразу (5) випливаєдиференціальне рівняння гармонійних коливань
(6)
де s = cos (w0 t +j). Рішенням цього рівняння є вираз (1).
Гармонічні коливання зображуються графічнометодом обертового вектора амплітуди, абометодом векторних діаграм.
Для цього з довільної точки, обраної на осіxпід кутом j, рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, модуль якого дорівнює амплітудіАколивання (див. малюнок 2).
Якщо цей вектор привести в обертання з кутовою швидкістю w0, що дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція кінця вектора переміщатиметься по осіxі приймати значення від -Адо +А, а величина, що коливається, буде змінюватися з часом за законом s =Acos (w0 t +j). Таким чином, гармонійне коливання можна уявити проекцією на деякудовільнообрану вісь вектора амплітуди А, відкладеного з довільної точки осі під кутом j, рівним початковій фазі, і обертається з кутовою швидкістю w0 навколо цієї точки.
У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу вектора, що обертається, амплітуди лише за формою. У цьому методі величину, що коливається, єкомплексним числом.Згідно з формулою Ейлера, для комплексних чисел
(7)
де-уявна одиниця. Тому рівняння гармонійного коливання (1) можна записати у комплексній формі:
(8)
речовачастина виразу (8)
є гармонійне коливання. Позначення Re речовинної частини опускають та записують у вигляді
.
Теоретично коливань приймається, що величина s, що коливається, дорівнюєречовинній частинікомплексного виразу, що стоїть у цій рівності праворуч.
1.Амплітуда гармонійних коливань матеріальної точки дорівнює 5 см. Маса матеріальної точки 10гі повна енергія коливаньдж.Написати рівняння гармонійних коливань цієї точки (з числовими коефіцієнтами), якщо початкова фаза коливань дорівнює.
Загальне рівняння гармонійних коливань має вигляд
(1)
У насА= 5 см, . ПеріодТколивань невідомий, але його можна знайти з умови . Звідси
(2)
У нас мm= кг і . Підставляючи ці дані (2), отримаємоТ=4сек. Тоді , і рівняння (1) набуде вигляду див. Відзначимо, що оскільки - величина безрозмірна, тоАне обов'язково підставляти в метрах ; найменуванняxбуде відповідати найменуваннюА.