Геодезична
Геодезічна(геодезична лінія) — крива певного типу, узагальнення поняття «пряма» для викривлених просторів.
Конкретне визначення геодезичної лінії залежить від типу простору. Наприклад, на двовимірній поверхні, вкладеній в евклідово тривимірний простір, геодезичні лінії — це лінії, досить малі дуги яких є на цій поверхні найкоротшими шляхами між їхніми кінцями. На площині це будуть прямі, на круговому циліндрі гвинтові лінії, прямолінійні утворюючі і кола, на сфері дуги великих кіл.
Геодезичні лінії активно використовуються у релятивістській фізиці. Так, наприклад, пробне тіло в загальній теорії відносності рухається геодезичною лінією простору-часу. По суті, тимчасова еволюція всіх лагранжових систем може розглядатися як рух геодезичною в спеціальному просторі. Таким чином уявна вся теорія калібрувальних полів.
Зміст
Різноманіття з афінною зв'язністю
У координатному вигляді можна переписати це рівняння, використовуючи символи Крістоффеля
d 2 x λ d t 2 + Γ μ ν λ d x μ d t d x ν d t = 0 , x^>>
Іншими словами, крива є геодезичною, якщо паралельно переноситься вздовж неї вектор, що був дотичним до кривої в початковій точці, залишається скрізь.
Ріманові та псевдоріманові різноманіття
У риманових і псевдоріманових просторах геодезична визначається як критична крива інтеграла енергії:
Ця умова еквівалентна тому, що:
У метричних просторах геодезична визначається як локально найкоротша з рівномірною параметризацією (часто з натуральним параметром).
Відповідно до лема Гауса, для ріманових різноманітностей цевизначення задає той самий клас кривих, як і диференціально-геометричне визначення, наведене вище.
Геодезичні лініїактивно використовуються в релятивістській фізиці. Так, наприклад, траєкторія вільно падаючого незарядженого пробного тіла в загальній теорії відносності і взагалі в метричних теоріях гравітації є геодезичною лінією найбільшого власного часу, тобто часу, що вимірюється годинами, що рухаються разом з тілом.
Часто фізичну теорію, що володіє дією або виражену в гамільтоновій формі, можна переформулювати як завдання відшукання геодезичних ліній на деякому різноманітті риманового або псевдориманового.