Геометричні завдання, Завдання та головоломки

Чорні бризки

На білу площину бризнули чорною фарбою. Доведіть, що знайдуться дві точки одного кольору, відстань між якими дорівнює 1965 метрам.

П'ять міст

Відстань від міста A до міста B (по повітрю) дорівнює 30 км, від B до C - 80 км, від C до D - 236 км, від D до E - 86 км, від E до A - 40 км. Знайдіть відстань від E до C.

Покриття кола

Доведіть, що сімома колами радіусу 1 можна повністю покрити коло радіусу 2, але не можна покрити коло більшого радіусу.

Поодинокі квадратні грати

У одиничній квадратній решітці береться довільний одиничний квадрат. Доведіть, що одна з відстаней від довільного вузла ґрат до вершин цього квадрата ірраціонально.

Квадрати на сторонах трикутника

головоломки

Відрізок та промінь

Крапка C - середина відрізка AB. На довільному промені, проведеному з точки C і не лежачому на прямій AB, вибрано три послідовні точки P, M і Q так, що PM = MQ:

завдання

Крапки на площині

На площині дано 2n крапок. Доведіть, що їх можна попарно з'єднати так, щоб не перетиналися відрізки.

Розрізання чорного куба

Уявіть собі дерев'яний куб із стороною 3 см, вся поверхня якого забарвлена ​​у чорний колір.

  1. Скільки потрібно розрізів, щоб поділити куб на кубики зі стороною 1 см?
  2. Скільки вийде таких кубиків?
  3. Скільки кубиків матимуть по 4 пофарбовані грані?
  4. Скільки кубиків матимуть по 3 забарвлені грані?
  5. Скільки кубиків матимуть по 2 забарвлені грані?
  6. Скільки кубиків матимуть по 1 пофарбованій грані?
  7. Скільки кубиків буде незабарвлених?

Чотири трикутники зі сірників

З шести сірників скластичотири рівні рівносторонні трикутники.