Глави 3

3.1. Аналіз інтервальних методів

При управлінні різними технологічними процесами необхідно забезпечити в реальному масштабі часу розрахунок та оптимізацію режиму, який гарантовано лежатиме в області допустимих режимів та буде реалізований системами автоматичного управління нижнього рівня ієрархічної системи управління. Стандартно застосовувані методи мало підходять для вирішення завдань такого класу через низькі швидкості збіжності речових ітераційних методів типу методу Ньютона і можливості появи довільних неконтрольованих помилок у результатах за наявності похибок у вихідних даних. Крім того, в залежності від наявного виду невизначеності при прийнятті рішень необхідно забезпечити проведення на ЕОМ розрахунків з інтервальними та нечіткими величинами.

Наприклад, особливості управління системами газопостачання полягають у тому, що навіть рідкісні коливання тисків і витрат понад певні межі (передусім міцності) можуть призвести до аварій. Тому при управлінні такими системами доводиться орієнтуватися на несприятливе (екстремальне) поєднання факторів невизначеності і використовувати поняття гарантованого результату [116, 137].

Найбільш перспективними для знаходження рішень систем рівнянь з урахуванням зазначених особливостей роботи алгоритмів реального часу в умовах невизначеності є інтервальні [109, 175, 277, 304, 323] та нечіткі [2, 166] методи. Ці методи набули великого поширення при вирішенні систем диференціальних рівнянь [109, 247, 304], систем лінійних та нелінійних рівнянь [109, 175, 232, 234], задач глобальної оптимізації [323].

Застосування інтервального аналізу та різних мінімаксних (гарантованих) підходів [48, 49, 116, 133, 242, 304]має цілу низку переваг:

- не потрібне знання ймовірнісних характеристик невизначених факторів, які рідко бувають точно відомі на практиці;

- при мінімаксному підході отримують суворі оцінки для самих шуканих величин, а не для ймовірностей чи математичних очікувань, що має велике значення за наявності малого числа вимірювань параметрів та однієї або кількох реалізацій;

- c татистичні характеристики не можуть гарантувати певного результату одного конкретного досвіду;

- у всіх випадках надаються гарантовані двосторонні апроксимації шуканих рішень.

При мінімаксному підході операції над невизначеними величинами зводяться до відповідних операцій над областями, проте навіть у разі простих вихідних областей невизначеності в результаті операцій над ними виходять області складної форми, що вимагають свого опису великої кількості параметрів [242]. Тому на практиці застосовується апроксимація області невизначеності класом областей, що залежать від фіксованого числа параметрів: паралелепіпедами [247], еліпсоїдами [50, 242] і т.д. Ставляються завдання мінімізації обсягу результуючих областей невизначеності [242].

Загалом точність інтервального результату повністю визначається такими чотирма чинниками [8]:

1. Невизначеністю у завданні вихідних даних.

2. Округлення під час операцій, що змінюють або породжують інтервальні об'єкти.

3. Наближеним характером використовуваного чисельного методу.

4. Ступенем обліку залежностей між беруть участь у обчисленні інтервальними об'єктами (змінними та константами).

Збільшення точності розрахунків (зменшення ширини результуючого інтервалу) досягається за рахунок компенсації впливу цих факторів.Завдання отримання даної безлічі машинно-представимых чисел найвужчого інтервалу, що містить об'єднане розширення відповідної раціональної функції, може ставитися як оптимізаційна.

Для зменшення похибки округлення використовуються зміна розрядності чисел, різні способи машинного подання та спеціальне впорядкування ланцюжка наступних один за одним операцій. А компенсація впливу четвертого фактора здійснюється шляхом попередньої обробки вихідного алгоритму, у процесі обчислень та апостеріорності [8].

Як зазначається у Додаванні А.Г.Яковлева до [8] стала вельми поширеною інтервальної арифметики зумовлено фактичним відсутністю конкурентних підходів до побудови надійного (у сенсі гарантованості) і транспортабельності (за включенням) програмного продукту на вирішення чисельних завдань. Інтервальний підхід дозволяє навести математичну строгість у побудові чисельних алгоритмів, які традиційно ґрунтувалися на апроксимації точного значення одним "досить близьким" до нього наближенням. Для інтервальних методів даються гарантовані двосторонні апроксимації шуканих рішень [48], які мають сенс найгіршого випадку з погляду опису невизначеностей [249].

У зв'язку з важливістю понять інтервального аналізу для теорії нечітких множин наведемо основні поняття та методи [109].

3.1.1. Інтервальна арифметика

Нехай – безліч всіх дійсних чисел. Підінтервалом, скрізь нижче, якщо не обумовлено неприємне, розуміється замкнене обмежене підмножина виду

.

Безліч всіх інтервалів позначимо через . Елементи записуватимемо великими літерами. Якщо А – елемент , , його лівий і правий кінці будемо позначати як . Елементиназиваютьсяінтервальними числами.

Символи і т. п. розуміються у звичайному теоретико-множинному сенсі, причому позначає не обов'язково суворе включення, тобто співвідношення допускає рівність інтервалів.Два інтервалиА і Врівнітоді і тільки тоді, коли .

Ставлення порядкуна множині визначається наступним чином: А 2 r] ZirZjr,

Zkr = Yi Zjr + YjZir + Zir a (s = 1, sr, n) [-cs, cs] Zis = Yi Zjr + Yj Zir + [-1,1] · Zir · a (s = 1, s r, по n) csZis

Неважко показати, що якщо

xiXi = Yi + a (r = 1..n) x r Z ir ,

xj Xj = Yj + a (r = 1..n) x r Z ir (3.15)

то xi * x jXi * Xj , * < +, -, ·, / & gt;.

Приклад 3.1.Обчислимо безліч значень функцій

x1, x2[0,1]. У першому випадку гадаємо

x = + x, x [-,],

а в другому випадку

x1 = + x 1, x 2 = + x 2, x 1, x 2 [-, ],

що після зведення до інтервалів дає

f([0,1]) = 0 + [-,] · 0 = 0

g([0,1], [0,1]) = 0 + [ - , ] · 1 + [ - , ] · 1 = [-1, 1]

У введеному Каханом узагальнення інтервальних операцій допускається розподіл на інтервал, що містить 0, та наявність ситуації, коли для інтервалу [8].

Узагальнена інтервальна арифметика може застосовуватися для звуження інтервалів, що містять безліч значень функції в деяких випадках. Однак при широких вихідних інтервалах (на яких задана функція) вона найчастіше дає інтервали ширше, ніж інші способи. При вузьких або вироджених інтервалах краще використовувати звичайну інтервальну арифметику, т.к. узагальнена вимагає більше арифметичних операцій, отже машинного часу.

---