ГОМОЛОГІЇ ГРУПА - це
Топологічний простір - група, яка ставиться у відповідність топологич. простору з метою алгебраїч. дослідження його топологіч. властивостей; ця відповідність повинна задовольняти певним умовам, найважливішими з яких єСтінрода-Ейленберга аксіоми(див. такожГомології теорія).Спочатку Г. р. були побудовані виходячи з ідей А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895) для поліедрів на основі їх тріангуляції - уявлення у вигляді симпліціального комплексу (див.Гомології поліедра).Згодом для узагальнення поняття гомології і розширення області її застосування були створені кілька теорій гомології довільних просторів, в яких брало поняття комплексу завжди використовується, але в більш складній ситуації, ніж у випадку тріангуляції. З цих теорій дві є основними: сингулярна та спектральна. Перша будується виходячи з відображень поліедрів в дані простору і переважно додається до питань, в яких брало поліедри відображаються в довільні простори, а друга заснована на відображенні будь-яких просторів в поліедри і особливо корисна в додатках, в яких зустрічаються такі відображення.
Ідеясингулярної гомологіїсходить до О. Веблена (О. Veblen, 1921), який в основу визначення гомології простору поклав системи, що складаються з поліедрів, їх безперервних відображень у даний простір та їх гомології. Ця ідея породила дві теорії. Безпосередній її розвиток спричинив групу безперервних класів гомології. Більш зручною, через те, що Р. р. визначаються з груп ланцюгів, виявилася власне сингулярна Р. р., визначена С. Лефшецем (S. Lefschetz, 1933) і зводиться до відображень орієнтованих симплексів в даний простір; подальший розвиток цієї теоріїпризвело до розгляду упорядкованих симплексів замість орієнтованих (С. Ейленберг, S. Eilenberg, 1944) та до кубич. гомологіям замість симплексів, що використовують куби (Ж. П. Серр, J. P. Serre, 1951). Усі зазначені різновиди сингулярних Р. р. ізоморфні між собою за дуже загальних умов.
Спектральні гомології,засновані на гомологіях нервів покриттів простору, пов'язаних у спектр природними симпліційними відхиленнями нервів, введені П. С. Александровим (1925 - 28), що розглядав спочатку компактні метрич. простору та послідовності нервів кінцевих покриттів. Ця теорія була поширена на довільні простори за допомогою довільних систем нервів відкритих покриттів Е. Чехом ( ), який також спирався на кінцеві покриття, що у разі некомпактних просторів не завжди придатно.
Тому з середини 40-х років. стали користуватися нескінченними покриттями. Введена Р. р. зв. групою Александрова - Чеха (див.Александрова - Чеха гомології та ко-гомології).Інше визначення Р. р. для компактних ітрич. просторів, заснований на граничних процесах, дано Л. В'єторнсом (L. Vietoris, 1927) (див.В'єториса гомології).Для довільних просторів визначення групи гомології В'єторіса спирається на розгляд вкладених один у друга комплексів покриттів (так зв. в'єторисіанів), симплексами яких є кінцеві системи точок простору, що належать одному і тому ж елементу покриття. У 1935 А. Н. Колмогоровим і Дж. Александером (J. Alexander) незалежно було дано побудову груп когомології, засноване на коцепях, що є функціями упорядкованих сукупностей точок простору. А. Н. Колмогоровим було дано і побудову Р. р., засноване на функціях множин і подвійне попередньому; ця Г.р. за будь-якої групи коефіцієнтів ізоморфна групі гомології Стінрода (див.Стінрода двоїстість),а при компактній групі коефіцієнтів - групі гомології Александрова - Чеха. Група гомології Александрова - Чеха та група гомології В'єторіса ізоморфні. Група гомології В'єториса і група когомології Александера - Колмогорова, будучи зворотним л прямими межами відповідно двоїстих спектрів, заданих на тому самому спектрі в'єторисіаїів, двоїсти одна одною. Зважаючи на те, які беруться Р. р. на нервах і в'єторисіанах при побудові відповідних спектральних Р. р., отримують два їх різновиди - проекційну і спектрову. У проекційному випадку за зазначені групи беруться Р. р. ланцюгового комплексу, що є межею ланцюгових комплексів кінцевих підкомплексів нервів і, відповідно, в'єторисіанів, у спектровому випадку - межі Р. р. зазначених підкомплексів; у разі дискретної групи коефіцієнтів ці групи є ізоморфними; для груп когомології – подвійно.
Сингулярна та спектральна теорії ізоморфні у разі паракомпактних, хаусдорфових, гомологічно локально зв'язкових просторів; останнє означає, що для даної околиці кожної точки знайдеться менша околиця, образ сингулярної Р. р. до-рой в Р. р. даної околиці при гомоморфізмі вкладення тривіальний (для цілочисельних Р. р. всіх розмірностей; у разі розмірності 0 маються на увазі наведені групи); інакше кажучи, це означає, що кожна точка жорстко вкладена у простір. Такими є, напр., простори, що локально стягуються, зокрема поліедри.
З численних інших Р. р. і груп когомології та їх узагальнень слід вказати на екстраординарні теорії Р. р., які будуються методами гомологич. алгебри, Р. р. та когомології з коефіцієнтами впучках, гомології з локальними коефіцієнтами, Р. р. спектрального типу, що володіють точною гомологич. послідовністю, Р. р. за модулем різних особливих підпросторів.
Літ.:[1] Стінрод Н., Ейленберг С., Підстави алгебраїчної топології, пров. з англ., М., 1958; [2] Хілтон П.-Дж., Уайлі С., Теорія гомології. Введення в топологію алгебри, пров. з англ., М., 1966; [3] Алекеандров П. С., "Матем. Зб.", 1947, т. 21, ст. 2, с. 161 – 232; [4] його ж, "Ізв. АН СРСР. Сер. Матем.", 1942, т. 6, с. 227-82; [5] Спеньєр Е., алгебраїчна топологія, пров. з англ., М., 1971; [6] Годеман Р., Алгебраїчна топологія та теорія пучків, пров. з франц., М., 1961; [7] Вredon G., Theory of sheaves, N.-Y., 1970; [8] Телеман К., Елементи топології та диференційовані різноманіття, пров. з ньому., М., 1967; [9] Switzer R., Algebraic Topology - Homotopy and HomoloBy, Ст, 1975.Г. С.Чогошвілі.
Математична енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.