Гомоморфізми кілець, Дискретна математика

Розглянемо дуже коротко питання про гомоморфізм кілець і полів.

НехайR 1 = (R1, +, ⋅,0, 1 ) таR 2 = (R2, +, ⋅,0, 1 (5)) - кільця.

Визначення 2.9. Відображення f: R1 → R2 називаютьгомоморфізмом кілець (кільця R1 в кільце R1), якщо f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для будь-яких x, у ∈ R1, тобто. образ суми та добутку будь-яких двох елементів кільця R1 при відображенні f дорівнює відповідно сумі та добутку їх образів у кільці R2.

Якщо відображення f сюр'єктивно (відповідно бієктивно), то його називаютьепіморфізмом (відповідноізоморфізмом ) кілець (кільцяR 1 на кільцеR 2 )

Приклад 2.25. РозглянемоR 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) — кільце цілих чисел — і ℤk = (ℤk, ⊕k, ⨀k, 0, 1 ) - Кільце відрахувань по модулю k. Задамо відображення f: ℤ → ℤk так: для будь-якого цілого т образ f(m) дорівнює залишку від поділу m на k. Раніше ми вже довели (див. приклад 2.21), що для будь-яких цілих m і n має місце рівність f(m + n) = f(m) ⊕k f(n). Розмірковуючи аналогічно, можна показати, що для будь-яких цілих тип також вірна рівність f(m ⋅ n) = f(m) ⨀k f(n). З урахуванням того, що відображення f сюр'єктивно, приходимо до висновку, що воно є гомоморфізмом кільця цілих чисел на кільце ℤk відрахувань по модулю k. #

Без доказу сформулюємо деякі теореми про гомоморфізми та ізоморфізми кілець (і полів). Всі ці твердження можуть бути доведені за аналогією з відповідними теоремами про гомоморфізми та ізоморфізми груп.

Теорема 2.20. НехайR 1 іR 2 - довільні кільця. Якщо f:R 1 →R 2 - гомоморфізм, то

образ нуля кільцяR 1 за відображення f є нуль кільцяR 2, тобто. f(0 ) =0 ;
образодиниці кільцяR 1 за відображення f є одиниця кільцяR 2, тобто. f(1 ) =1 ;
для будь-якого елемента х кільцяR 1 образ елемента, протилежного елементу x, дорівнює елементу, протилежному образу елемента x, тобто. f(-x) = -f(x);
якщо кільцяR 1 іR 1 є полями, то для будь-якого елемента х кільцяR 1 образ елемента, зворотного до елемента х за множенням, дорівнює елементу, зворотному до образу елемента x, тобто. f(x -1 ) = [f(x)] -1

Теорема 2.21. Якщо f — гомоморфізм кільцяR у кільцеK, a g — гомоморфізм кільцяK у кільцеL, то композиція відображень f g g є гомоморфізм кільцяR, кільцеL.

Теорема 2.22. Якщо f:R 1 →R 2 - ізоморфізм кільцяR 1 на кільцеR 2 то відображення f -1 є ізоморфізм кільцяR 2 на кільцеR 1. #

Як і у разі груп, визначаються поняття гомоморфного образу кільця та ізоморфних кілець. А саме кільцеК називають гомоморфним чином кільцяR, якщо існує гомоморфізм кільцяR на кільцеK. Два кільцяR іK називають ізоморфними і пишутьR ≅K, якщо існує ізоморфізм одного з них на інший.

Так, наприклад, кільце відрахувань по модулю є гомоморфний образ кільця цілих чисел при гомоморфізмі, що задається відображенням, яке кожному цілому т зіставляє залишок від розподілу m на k.

Розглянемо один цікавий приклад ізоморфізму полів.

Приклад 2.26. Як і в прикладі 2.22, поставимо у відповідність комплексному числу а + bi матрицю f(a + bi) = . Отримаємо відображення f , яке, як було доведено, є ін'єкцією, причому а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, де 0 — нульова матриця. Зауважимо, що, оскількивизначник матриці зазначеного виду дорівнює а 2 + b 2 серед всіх таких матриць тільки нульова буде мати нульовий визначник.

Далі, легко перевірити, що безліч таких матриць замкнута щодо операцій складання та множення ма- матриц, містить (як уже було відзначено) нульову та одиничну матриці, а також разом з кожною матрицею А матрицю -А і разом з кожною ненульовою матрицею зворотну до неї матрицю. Це означає, що безліч матриць виду , a, b, ∝ ℝ з операціями складання і множення матриць утворює поле. Позначимо його М(a,b) 2 .

З прикладу 2.22 слід, що мультиплікативна група поля комплексних чисел ізоморфна мультиплікативної групи поля М (a, b) 2 . Так як

те й адитивна група поля комплексних чисел ізоморфна адитивної групи поля М (a, b) 2 . Отже, ми отримуємо, що поле комплексних чисел ізоморфне на полю матриць М (a,b) 2 . Цей ізоморфізм є основою матричного подання алгебри комплексних чисел, що має значення для комп'ютерних реалізацій цієї алгебри.