ГРАДІЄНТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ

ГРАДІЄНТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ - перетворення в класичній і квантовій теорії поля, яке змінює характеристики поля, що не є спостережуваними (напр., потенціали поля), і не змінює при цьому мають фізичні. сенс спостерігаються величини (напр., напруженості поля). Назва «Р. п.» виникло в класич. теорії електромагнітного поля, де 4-мірний вектор електромагнітного потенціалу Аn(х), n = 0, 1, 2, 3, вводиться в теорію неоднозначним чином, оскільки так зв. Г. п. 2-го роду:

з довільною функцією f(x), що має приватні похідні 1-го і 2-го порядків, не позначаються на значеннях компонент антисиметричного тензора електромагнітного поля

які рівні фізично спостерігаються компонентам векторів напруженості електрич. поля Eα = Fα0, α = 1, 2, 3, та магнітного поля H1 = F23; H2 = F31; H3 = F12. При Р. п. 2-го роду залишаються незмінними рівняння поля

тобто має місце властивість так зв. градієнтної інваріантності теорії поля. За допомогою відповідного вибору функції f(x) можна досягти виконання для А к.-л. додаткової умови, до-рої зв. умовою калібрування, що дозволяє спростити вигляд рівнянь поля. Напр., лінійна щодо потенціалу А умова Лоренца - рівність нулю 4-мірної дивергенції

приводить до рівняння Д'Аламбер для Аn(х) (див. Д'Аламбер оператор)

Умова Лоренца не визначає повністю потенціал А, оскільки теоретично залишається інваріантність щодо так зв. спеціалізованого Р. п. 2-го роду (1) з функцією f0(x), що задовольняє рівняння Д'Аламбера: f0(x) = 0. Однак при певному виборі f0(x) (так наз. лоренцева система відліку) можна домогтися виконання умови A0 = 0. При цьому умова Лоренца (2) зводиться до умови divA= 0 для 3-мірного векторного потенціалу, тобто до умовипоперечності електромагнітного поля У разі комплексних полів повинна мати місце також інваріантність теорії щодо Г. п. 1-го роду для хвильових функцій поля та їх похідних

Ф(х) → Ф'(х) = e iα Ф(х); Ф*(х) → Ф*'(х) = е -iα Ф*(х), (4)

так як всі спостерігаються динамічні. величини через умови дійсності (ермітовості) повинні виражатися тільки через дійсні білінійні щодо Ф* і Ф форми. Умова інваріантності теорії поля щодо Г. п. 1-го роду в силу загальних принципів механіки означає існування нек-рих фізичних, що зберігаються. величин - зарядів, які виражаються через функції поля, або, інакше кажучи, існування законів збереження цих зарядів. Відповідні лагранжіани та рівняння поля повинні бути інваріантними щодо Р. п., інакше званих калібрувальними перетвореннями. Напр., у разі взаємодіючих з електромагнітним полем Аn(х) комплексних полів ψ(х), відповідних частинкам, що мають електрич. зарядом, лагранжіани вільних полів і лагранжіан взаємодії та рівняння поля повинні бути інваріантними щодо калібрувальних перетворень виду

тобто щодо Р. п. (1) і (4), де фазовий множник (4) може залежати від 4-мірних координат простору-часу і повинен збігатися з довільною скалярною функцією, що входить в (1). У цьому випадку в системі полів Аn(х) та ψ(х) виконується закон збереження електрич. заряду. Калібрувальні перетворення (5) утворюють абелеву групу перетворень у тому сенсі, що калібрувальна функція f(x) = g(x) + h(x) описує калібрувальне перетворення, що являє собою два калібрувальні перетворення з функціями g(x) і h(x) , Вироблені в будь-якій послідовності. При побудові загальніших, ніж розглянутий приклад, теорійвзаємодіючих полів для виконання відповідних законів збереження тих чи інших зарядів необхідно вимагати інваріантності лагранжіанів і рівнянь поля щодо неабелевих калібрувальних перетворень, в яких брало калібрувальні функції f(x) повинні бути операторами.

Літ.: [1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. Ст, Введення в теорію квантованих полів, М., 1957.

Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.