Група ізоспину SU(2)
Розглянемо тепер одне з важливих застосувань теорії груп та їх уявлень у фізиці елементарних частинок. Йтиметься про класифікацію елементарних частинок з допомогою теорії груп. Як простий приклад розглянемо протон і нейтрон. Давно відомо, що протон і нейтрон мають близькі маси і близькі властивості щодо сильних взаємодій. Саме тому у сильних взаємодіях Гейзенберг запропонував розглядати їх як один стан. Але для цього треба знайти групу, в якій найнижче нетривіальне уявлення має розмірність 2. Спробуємо тут застосувати формалізм групи SU(2), що має 2-вимірний спинор як базис уявлення. Введемо групу ізотопічних перетворень SU(2)I. Визначимо нуклон як стан з ізотопічним спином I = 1/2 з двома проекціями ( протоном c I3 = 1/2 і нейтроном I3 = -1/2) у цьому вигаданому ізотопічному просторі, проводячи практично повну аналогію із введенням спина 1/2 у звичайному просторі. Зазвичай базис двовимірного уявлення групи SU(2)I записується як ізотопічний спинор.
,
що означає, що протон і нейтрон визначено як
Подання розмірності 2 реалізується матрицями Паулі 2 × 2 τk , k = 1, 2, 3 (замість σi , i = 1, 2, 3, які ми залишаємо для опису спина 1/2 у звичайному просторі), при цьому ізотопічний оператор τ + = 1/2(1 + i2) переводить нейтрон у протон, а τ - = 1/2(τ1 - iτ2), відповідно, переводить протон у нейтрон. Відомий також ізодублет каскадних гіперонів спина 1/2 Ξ 0,- з масами
1320 МеВ. Давно відомі дублет дивних мезонів спина 0 K+,0 з масами
490 МеВ та антидублет їх античастинок K 0,- . А як описати частинки з I = 1? Скажімо, триплет π-мезонів π + , π - , π 0 спина нуль негативної парності з масами m(π ±) = 139.5675+0.0004 МеВ, m(π 0 ) = 134,9739+0,0006 МеВ та практично однаковими властивостями за сильними взаємодіями? У групі (ізотопічних) обертань ми б задали ізотопічний вектор як базис (де дійсні псевдоскалярні поля ? Ak, k = 1, 2, 3, як подання алгебри і матриці Rk, k = 1, 2, 3 як подання групи, де кути k визначені в ізотопічному просторі. Використовуючи результати попереднього параграфа, ізотопічному триплетуречових полів в SU(2)I зіставляється базис виду
,
де заряджені півонії описуютьсякомплексними полями. Отже, півонії можуть бути задані в ізотопічному формалізмі у вигляді двовимірних матриць:
, , ,
які утворюють базис уявлення розмірності 3, а саме уявлення задається, як уже говорилося, унітарними унімодулярними матрицями 2 × 2 U. Подібним чином описуються частинки довільного спина з ізоспіном I = 1. З мезонів слід пам'ятати ізотриплет векторних мезонів ρ ± ,0 c масою
Серед частинок із напівцілим спином вкажемо, наприклад, ізотриплет відкритих до початку 60-х років дивних гіперонів спина 1/2 з масами
1192 МеВ Σ ± ,Σ 0 який запишеться в базисі SU(2) як
.
Подання розмірності 3 задається тими ж матрицями U. Нагадаємо ще раз, що експериментально ізотопічний спин визначається за кількістю частинок N = (2I + 1), близьких за своїми властивостями, тобто, що мають однаковий спин, близькі (на рівні відсотка) маси та практично однакові властивості по сильній взаємодії. Наприклад, при масі, близької до 1115 МеВ була виявлена тільки одна частка спина 1/2 з дивністю S = -1 - це гіперон Λ cнульовим електричним зарядом та масою 1115,63+0,05 МеВ. Природно, що цій частинці був приписаний нуль ізотопічний спин. Так само було визначено ізоспін I = 0 псевдоскалярного мезону η(548). Відомий також триплет баріонних резонансів зі спином 3/2, дивністю S = - 1 і масами M(Σ *+ (1385)) =1382,8+0,4 МеВ, M (Σ * 0 (1385)) = 1383,7+1,0 МеВ, M (Σ * - (1385)) = 1387,2+0,5 МеВ, ( резонанси - це частинки, що розпадаються за сильною взаємодією і тому мають дуже короткий час життя, у свій час активно обговорювалося питання, чи варто їх зараховувати в "елементарні") або (можна ще зустріти інше позначення для цього резонансу - Y*1(1385)) . Відомий тільки один стан з ізотопічним спином I = 3/2 (тобто, на експерименті знайшли 4 практично однакових стани, що відрізняються тільки зарядом) - це четвірка нуклонних резонансів зі спином J = 3/2 Δ ++ (1232 ), Δ + (1232), Δ 0 (1232), Δ - (1232), що розпадається на півонія і нуклон (виміряна різниця мас = 2,7+0,3 МеВ). ( Використовується й інше позначення - N*(1232).) У системі було виявлено лише два резонанси зі спином 3/2Ξ *0,- з масами
1520 МеВ, тому вони поміщені в ізодублет із ізоспіном I = 1/2. Використання формалізму ізотопічного спина дозволяє не тільки економно розкласифікувати безліч сильновзаємодіючих частинок (адронів) по ізотопічних мультиплетах, а й зв'язати між собою амплітуди розпадів, а також амплітуди розсіювання частинок, що входять в одні й ті самі ізотопічні мультиплети. Докладніше ми не зупинятимемося на цих співвідношеннях, оскільки вони є частиною співвідношень, що виникають у рамках більш високих груп симетрії, до розгляду яких ми і переходимо. Наприкінці цього розділу нагадаємо ще видспіввідношення Гелл-Манна-Нішиджими між зарядом Q, 3-ї компонентою ізоспину I3 і гіперзарядом Y = S + B, де S - дивина, B - баріонне число (+1 для баріонів, -1 для антибаріонів, 0 для мезонів):
Q = I3 + Y/2.
Оскільки Q є інтеграл за гіперповерхнею від 4-ї компоненти електромагнітного струму, це означає, що електромагнітний струм є суперпозицією 3-ї компоненти ізовекторного струму та ізоскалярного гіперзарядового струму.