Ідеал (алгебра), Математика, FANDOM powered by Wikia

Ідеал- спеціального роду подобъект в деякій структурі алгебри. Поняття ідеалу виникло спочатку теоретично кілець. Назва "ідеал" веде своє походження від "ідеальних чисел" (дивізорів).

Визначення

Для алгебри або кільця $A$ ідеал є подалгебра або підкільце, замкнена щодо множення на елементи з $A$. При цьому ідеал називаєтьсялівим(відповідноправим), якщо він замкнутий щодо множення зліва (відповідно праворуч) на елементи з $A$. Ідеал, що є одночасно лівим і правим, називається двостороннім. У комутативному випадку всі ці три поняття збігаються.

Більш точно: Ідеалом кільцяAназивається таке підмножинаIкільцяA, що

  1. для будь-яких елементівiіjзI, їх сумаi+jтакож лежить уI;
  2. для будь-якого елементаiзIйого протилежний елемент-iтакож лежить уI;
  3. (умова на праві ідеали) для будь-якого елементаiзIі будь-якого елементаaзAтвірiaтакож лежить уI;
  4. (умова на ліві ідеали) для будь-якого елементаiзIта будь-якого елементаaзAтвірaiтакож лежить уI.

Властивості

  • Двосторонні ідеали в кільцях та алгебрах відіграють ту ж роль, що й нормальні підгрупи у групах:
  • Для будь-якого гомоморфізму $ f: A \ to B $ ядром $ \ operatornamef $ є ідеал, і назад, всякий ідеал - ядро ​​деякого гомоморфізму.
  • Більш того, ідеал однозначно (з точністю до ізоморфізму) визначає образ гомоморфізму, ядром якого він є: $ f(A) $ ізоморфний фактор кільця(факторалгебре) $ A / I $ .

Для будь-якого підмножини $X\in A$ можна визначити ідеал $I_X$, породжений $X$, як перетин усіх ідеалів, що містять безліч $X$. У цьому випадку безліч $X$ називаєтьсябазисомідеалу $I_X$. Різні базиси можуть породжувати той самий ідеал. Ідеал, породжений одним елементом, називаєтьсяголовним.

  • Перетин лівих (двосторонніх) ідеалів знову буде лівим (двостороннім) ідеалом.
  • Для кілець і алгебр теоретико-множинне поєднання ідеалів має бути ідеалом.

Нехай $ I, J $ - ліві або двосторонні ідеали в кільці (або алгебрі) $ A $. Сумою ідеалів $I$ і $J$ називається мінімальний ідеал $A$, що містить $I$ і $J$. Щодо суми всі (ліві чи двосторонні) ідеали кільця (або алгебри) утворюють ґрати.

  • Для $k$-алгебри $A$ (алгебри над полем $k$) ідеал кільця $A$ може, взагалі кажучи, не бути ідеалом алгебри $A$.

Наприклад, якщо $A$ є $k$-алгебра з нульовим множенням, то безліч всіх ідеалів кільця $A$ збігається з безліччю всіх підгруп адитивної групи $A$, а безліч усіх ідеалів алгебри $A$ збігається з безліччю всіх підпросторів векторного $ k$-простору $A$. Однак у випадку, коли $A$ - алгебра з одиницею, обидва ці поняття збігаються.

Пов'язані поняття

Багато класів кілець і алгебр визначаються умовами з їхньої ідеал чи грати ідеалів. Наприклад:

  • Кільце, яке не має нетривіальних двосторонніх ідеалів, називаєтьсяпростим.
  • Кільце без односторонніх ідеалів є тілом. також: кільце головних ідеалів, артинове кільце, нетерове кільце.

З будь-якимКомутативним кільцем з одиницею пов'язаний топологічний простір $ Spec A $ , точками якого є всі прості ідеали кільця $ A $ , відмінні від $ A $ , а ідеали кільця $ A $ визначають замкнені підмножини простору $ Spec A $ .

Поняття ідеалу був із поняттям модуля. Ідеал (правий чи лівий) можна визначати як підмодуль кільця, розглянутого як правий чи лівий модуль над собою.