Ієрархія симетричності 1985 р. Кантор Б
Ієрархія симетричності
Ми вже трохи просунулися в класифікації кристалів: розподілили їх за видами чи класами симетрії.
Але при цьому найбільш природним здається класифікувати кристали безпосередньо за їхньою формою. Адже наше око, можна сказати, самою природою влаштоване так, щоб швидко та безпомилково, без підручників та правил, помічати головні відмінності у формі предметів. Кожен із першого ж погляду відрізнить один від одного дитячий кубик, олівець, гайку, лінійку, сірникову коробку. Хоча такі відмінності ми робимо автоматично, інтуїтивно, нічого не заважає нам проаналізувати їх. У кубика довжина, ширина і висота однакові, інакше кажучи, вигляд його ізометричний. Олівець має вигляд подовжений, стовпчастий, а гайка - таблитчастий; притому в обох Предметів один розмір значно відрізняється від двох інших приблизно однакових. Зовнішність коробки, як і лінійки, правильно назвати сплощеним: всі три виміри різні.
А як же відрізняються ці предмети по симетрії? Небагато подумавши, ви погодитеся з наступним твердженням: предмет, у якого висота, довжина і ширина різні, не може мати осей симетрії порядку вище 2-го. Це слід віднести до нашої коробки та лінійки. Зовнішність шестигранного олівця, як і гайки, сильно визначається наявністю єдиної осі L6. Щодо кубика, то в ньому є навіть кілька осей вищого (вище 2-го) порядку – про це ми вже говорили.
Той факт, що вигляд предмета пов'язаний із його симетрією, для нас уже не новина. Але тепер ми спробуємо використати симетрію для класифікації образів – завдання, якщо вдуматися, зовсім не просте.
Категорії симетрії
Досі нам доводилося обмежуватись якісною оцінкою симетрії. Останні приклади нагадують, як можна розрізнятипредмети за рівнем симетричності. Мабуть, кубик, як "симетричний з усіх боків", треба вважати найбільш симетричним, симетрію гайки та олівця слід визнати середньою, а лінійки та коробка – найнижчою. Неважко бачити, що відмінності зводяться до осей вищого порядку. Враховуючи їх важливу роль, ми називатимемо ці осі головними. Виникає така ієрархія симетричності ідеальних кристалічних багатогранників.
Читач може відчути недовіру до наших маніпуляцій із симетрією: якщо вже ми домовилися про типи образів, то чому б не класифікувати кристали у цей найпростіший спосіб - на стовпчасті, таблитчасті тощо?
Свого часу кристалографія пройшла через це. Однак, накопичивши достатньо відомостей про кристали, вчені дійшли висновку, що вигляд - ненадійна ознака. Серед кристалів берила, наприклад, зустрічаються і "гайки", і "олівці", але ж мінерал один і той же. З погляду симетрії між "олівцем" та "гайкою" різниці немає. Виходить, симетрія – властивість і характерна, і стійка. Тому в основу класифікації кристалів була покладена симетрія, а вигляд зберіг значення другорядної ознаки. Цей вибір, що став результатом тривалих пошуків, зробив честь інтуїції вчених, бо, як з'ясувалося набагато пізніше, симетрія тісно пов'язана з головним у кристалах - правильністю їхньої внутрішньої будови.
Кристалографічні сингонії
Після цієї підготовчої роботи ми зможемо поділити всі кристалічні багатогранники на сім систем, або кристалографічні сингонії (від грецького слова, що означає "подібнокутність").
Кристалографічні системи координат
Але кристалографія була б точної наукою, якби обмежувалася наочними уявленнями. Вона широко користуєтьсясуворими математичними методами та прийомами, один з яких – введення кристалографічних систем координат.
За початок координат приймемо геометричний центр ідеалізованого кристала, а осі направимо вздовж найважливіших ребер або головним осям симетрії. Така система координат відрізняється від широко відомої прямокутної системи тим, що кути між осями не обов'язково прямі, а залежать від габітусних кутів кожного конкретного кристала.
Умовимося завжди розташовувати кристал так щоб головна вісь проходила вертикально. Якщо її немає, повернемо кристал так, щоб вертикальною виявилася група найбільш виражених паралельних ребер. Тоді одна з координатних осей теж займе вертикальне положення; надамо їй позначення III. Дві інші осі виберемо так: одну направимо до себе та назвемо віссю I; іншу направимо вправо, і нехай це буде вісь ІІ. (На всіх попередніх малюнках кристали зображені саме в такій "кристалографічній установці"). Координатну систему характеризуватимемо відрізками осей а, b, від центру до перетину з гранями і кутами α, β, γ між осями. Виходить "осьовий хрест" - щось на зразок скелета кристала, що виражає загальний характер його симетрії та зовнішнього вигляду. При класифікації кристалів осьовий хрест позбавить нас необхідності входити в подробиці форми кожного екземпляра з усіма його гранями, ребрами і вершинами.
Наше наступне завдання – виявити можливі типи осьових хрестів, змінюючи осі та кути.
Тип 1- всі осі рівні, всі кути прямі: а=b=с, α=β=γ=90° (рис. 6, а). Кристали з такими осьовими хрестами можуть бути лише у кубічнійсингонії.
Тип 2- кути прямі, але рівні лише дві осі: а-b≠с, α=β=γ= 90° (рис. 6, б) - тетрагональна сингонія.
Тип 3- всі осі різні, кути прямі: ромбічна сингонія (рис. 6, в).
Тип 4- осі різні, один з кутів непрямої: а≠b≠c, α=γ=90°, β>90° (рис. 6, г). "Перекіс" в одному напрямку говорить про приналежність до моноклінної сингонії.
Тип 5- осі різні, всі кути непрямі: а≠b≠с, 90°, 90°, 90° - триклінна сингонія (рис. 6, д).
Тип 6. Для кристалів з єдиною головною віссю L3 або L6 зручніша чотиривісна система координат (рис. 6, е), в якій три рівні осі лежать у горизонтальній площині під кутами 120° один до одного, а четверта перпендикулярна їм і збігається з головною віссю кристала. Така система координат добре підійде для кристалів тригональної та гексагональної сингонії*.
* ( У деяких посібниках обидві ці сингонії об'єднуються в одну, звану гексагональною.)
Цим можливі варіанти вичерпуються. Перші п'ять типів осьових хрестів однозначно відповідають п'ятьом сингоніям, а шостий тип - одночасно двом сингоніям: тригональній і гексагональній.
Методи роботи професіоналів
Якщо мінерал відомий, то мудрувати із визначенням його сингонії немає потреби - достатньо розкрити на потрібній сторінці довідник. А от коли мінерал невідомий і про сингонію можна судити лише за самим кристалом, фахівцю доводиться попрацювати - адже його влаштовує лише достовірна відповідь. Аж до 20-х років ХХ століття єдиним засобом цього було вимір кристалів на спеціальних приладах - гониометрах. З часом гоніометри вдосконалювалися і досягли високої точності. Але якщо немає індивідів із власною кристалічноюогранюванням, гоніометричний метод безсилий. На жаль, добре огранені природні кристали в основному вже вивчені, і нині вчені, відкриваючи нові мінеральні види, найчастіше змушені мати справу з дрібними безформними зернятками. Мінералогічна систематика давно тупцювала б на місці, якби її розвиток залежав від досконалості здобутих кристалів нових мінералів.
Вихід був знайдений у принципово іншому підході до завдання - на основі зв'язку зовнішньої симетрії кристалів з їхньою внутрішньою будовою. Щоправда, як визначати характеристики структур, зрозуміли лише першої чверті ХХ століття. Зате протягом найближчих десятиліть у вивченні структур було досягнуто незрівнянно більше, ніж за всю попередню історію науки. Ідея відповідності зовнішньої форми та структури кристала - ключова у сучасній кристалографії.
Звернемося знову до просторових ґрат кристала (див. рис. 1). Найменша з повторюваних "цегли" називається елементарним осередком (див. рис. 1, г). Вона може мати форму або паралелепіпеда (в окремому випадку куба або квадратної призми), або шестигранної призми, і в одній і тій же орієнтуванні, без поворотів і без перепусток, повторюється у всьому обсязі кристала, суцільно заповнюючи простір. На рис. 1 б елементарна осередок виділена в нижньому куті решітки. Щоб описати всю геометрію елементарного осередку, достатньо всього шести величин: довжин трьох її ребер - параметрів ао, bо, cо та кутів α, β, γ між ребрами. Симетричну комірку описати ще простіше: для кубічної, наприклад, достатньо всього однієї величини - параметра ао: адже інші параметри такі самі, а всі кути - прямі.
Зіставивши рис. 1, б і г, можна бачити, що елементарна комірка дає повне уявлення про структуру кристала. З іншого боку, осередок пов'язаний з його зовнішньою формою.Найважливіші ребра кристала - це ряди просторових ґрат. Отже, координатні осі повинні розташовуватися вздовж ребер елементарного осередку. Осередок як би містить осьовий хрест "в мініатюрі": кути ті ж, відношення параметрів ао, bо, cо дорівнює відношенню координатних осей а, b, с. Справді, багатогранники, в які вписані осьові хрести (див. рис. 6), цілком могли б за своєю формою претендувати на роль елементарних осередків у відповідних сингоніях. Так, у кубічній сингонії елементарний осередок має форму куба, в тетрагональній - правильної чотиригранної призми, гексагональної - правильної шестигранної призми і т. д.
Отже, елементарна комірка містить ознаки сингонії. Сингонією можна назвати сукупність видів симетрії кристалів зі схожими характеристиками елементарних осередків.
Це визначення відповідає поставленої мети: пов'язує зовнішню симетрію із внутрішньою будовою кристала. Справа за тим, щоб розпізнати елементарну комірку. Але як це зробити? Звичайно, не може бути й мови про те, щоб розглянути її в мікроскоп, нехай навіть найсильніший: параметри елементарних осередків мають той самий порядок, що й розміри атомів – стомільйонні частки сантиметра. Усі міркування структурах залишалися, строго кажучи, у межах гіпотез, доки з'явилася можливість перевірити їх досвідченим шляхом. Сталося це на початку ХХ століття завдяки відкриттю дифракції рентгенівських променів під час проходження їх через кристалічні тіла. Це відкриття є основою сучасних методів рентгеноструктурного аналізу, надзвичайно широко застосовуваного у дослідженнях кристалів. Вони дозволяють швидко і точно знаходити характеристики кристалічних структур, представлених індивідами чи уламками будь-якої форми та розміру, аж до порошку.
З тих пір кристалографи,що займаються структурами, назавжди позбулися кабальної залежності від якості кристалів. Але в повсякденній практиці, коли доводиться мати справу з більш менш правильними кристалами, визначення сингонії на око зберігає роль важливої професійної навички, необхідного мінералогу так само, як інженеру - навичка розрізняти за зовнішнім виглядом сортаменти сталевого прокату, болтів, гайок.
Перший гоніометр, винайдений помічником Роме-Деліля французом М. Каранжо в 1782 р., був комбінацією транспортира та лінійки, які для вимірювання гранних кутів прикладали до кристала. Пізніше зміну прикладному гоніометру прийшов відбивний (У. X. Волластон, 1809 р.); для виміру кутів у ньому використовувалося відбиток гранями пучка світла. Відбивний гоніометр був докорінно вдосконалений одночасно і незалежно один від одного видатними кристалографами Є. С. Федоровим (1853-1919) та В. Гольдшмідтом (1853-1933).
У 1855 р. О. Браве зробив висновок всіх типів просторових грат та елементарних осередків. У 1890 р. Є. З. Федоров дав вичерпний аналіз симетрії кристалічних структур. Основи кристалохімії – сучасного вчення про структури кристалів – закладені на початку нашого століття Є. С. Федоровим та німецьким мінералогом П. Гротом (1843–1927).
Відкриття дифракції рентгенівських променів у кристалах (1912) належить німецькому фізику М. Лауе (1879-1960); ним же було розроблено один із методів рентгеноструктурного аналізу. Найбільші вклади у створення цих методів внесли Г. В. Вульф (Україна, 1913 р), У. Г. та У. Л. Бреггі - батько та син (Англія, 1913 р.), П. Дебай та П. Шеррер (Німеччина) , 1916 р.). Рентгеноструктурний аналіз незабаром отримав широке визнання, і гоніометричний метод поступово втратив своє значення у визначеннісингоній, але продовжує використовуватися вивчення форми кристалів.