Ілюстрований самовчитель по Maple 9 › Числові та функціональні ряди › Розкладання функцій у
Розкладання функцій у ряди Тейлора та Лорана
Розкладання функції у ряд Тейлора, чи, у загальному випадку, Лорана, знаходить найширше застосування як із вирішенні завдань вищої математики, і у прикладних областях.
У Maple на цей випадок передбачені такі процедури:
- taylor() - розкладання в ряд Тейлора,
- mtaylor() – розкладання до ряду Тейлора функції кількох змінних,
- series() - узагальнений ряд (для аналітичних функцій такий ряд збігається з рядом Тейлора).
На замітку На цьому набір утиліт Maple для виконання розкладів у ряди далеко не вичерпується; їх вивчення залишаємо читачеві як самостійне завдання.
Розкласти в ряд Тейлора до члена з х функцію: (1+x+x^2)/(1-x+x^2).
Скористаємося процедуроюtaylor(), вказавши першим параметром функцію, що розкладається в ряд, другим параметром - рівність, що визначає змінну і точку, в околиці якої виконується розкладання в ряд, а третім необов'язковим параметром - порядок "залишку" ряду. Так, якщо розкладати функцію слід до доданків зі ступенем 4 включно, порядок залишку ряду дорівнює 5.
Визначимо вираз f, що задає вихідну функцію.
Основну частину ряду позначимо через fl (змінна середовища%% посилається на результат виконання передостанньої операції (тобто ряд для функції), а опціяpolynom є інструкцією, що зазначене першим параметром вираз слід призвести до поліноміального вигляду).
Тепер можна порівняти, наскільки відрізняються вихідна функція та її наближення поряд Тейлора (наближення, оскільки залишок ряду було відкинуто).
Бачимо, що навіть розкладання дочетвертого ступеня достатньо, щоб коректно апроксимувати функцію на околиці нуля. Відмінність помітна лише за суттєвому віддаленні від точки розкладання.
У наступному прикладі досліджуємо питання про те, наскільки кількість тих, що залишаються при розкладанні функції в ряд доданків, впливає на точність апроксимації.