Інтеграл по поверхні сфери - MathHelpPlanet

Обговорення та вирішення завдань з математики, фізики, хімії, економіки

Часовий пояс: UTC + 3 години [ Літній час ]

Інтеграл по поверхні сфери

Всім добрий час. Вправлявся з обчисленням інтегралів по поверхні і накопичилося кілька питань. Допустимо, щоб отримати відоме значення площі сфери [math]4\pi R^2[/math] , я обчислював поверхневий інтеграл у сферичній системі координат по 1/8 об'єму від усієї сфери, що давало межі інтегрування від 0 до [math]\frac[/math]

[math]\iint \limits_^<> dS=\int \limits_^>\int \limits_^>R^2sin \theta d\varphi d\theta =\frac[/math] ,

де [math]S=[x^2+y^2+z^2=R^2][/math] і відповідно [math]z=\sqrt[/math] .

Так як це 1/8 частина від усієї сфери, то помножуючи на 8 виходить правильний результат.

Тепер, якщо взяти не 1/8 частину, а півсферу, межі інтегрування будуть від 0 до [math]2 \pi[/math] і від 0 до [math]\pi[/math] . У цих межах інтегрування вже виходить відповідь [math]4\pi R^2[/math] . А оскільки це була півсфера, то множення результату на 2 дає площу відповідно вдвічі більшу, ніж вона є. Чому так дивно виходить?

І ще одне питання. Можна обчислити площу через декартові координати, перейшовши потім до полярних і отримати площу півсфери.

Отож питання: чому не можна в даному випадку замість полярної системи координат перейти до сферичної? Адже я площу сфери обчислюю. Пробував - взагалі дурниця виходить. Ось і зробив висновок, що не можна, а чому – не зрозуміло.

---