Інтегральна теорема Муавра-Лапласа та умови її застосування

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність р настання події А у кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що число m настання події А в n незалежних випробуваннях укладено в межах від а до b (включно), при досить великій кількості n приблизно дорівнює

,

Де - функція (або інтеграл ймовірностей) Лапласа;

,.

Формула називається інтегральною формулою Муавра Лапласа. Що більше n, то точніше ця формула. При виконанні умови npq ≥ 20 інтегральна формула

, як і локальна, дає, як правило, задовільну для практики похибка обчислення ймовірностей.

Функція Ф(х) табульована (див. табл.). Для застосування цієї таблиці потрібно знативластивості функції:

Функція Ф(х) непарна, тобто. Ф(-х) = -Ф(х).

Функція Ф(х) монотонно зростаюча, причому при х → +∞ Ф(х) → 1 (практично можна вважати, що вже при х 4 Ф(х) ≈ 1).

Приклад. У деякій місцевості з кожних 100 сімей 80 мають холодильники. Обчислити ймовірність того, що від 300 до 360 (включно) сімей із 400 мають холодильники.

Рішення. Застосовуємо інтегральну теорему Муавра Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Спочатку визначимо:

,

.

Тепер за формулою, враховуючи властивості Ф(х), отримаємо

.

(за табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

Наслідки інтегральної теореми Муавра-Лапласа (з висновком). приклади.

Розглянемо наслідок інтегральної теореми Муавра Лапласа.

Слідство. Якщо ймовірність р настання події А у кожному випробуванні постійна та відмінна від 0і 1, то при досить великій кількості n незалежних випробувань ймовірність того, що:

а) число m наступів події А відрізняється від добутку nр не більше, ніж на величину ε > 0 (за абсолютною величиною), тобто.

;

б) частота

події А укладена не більше від α до β (включно), тобто. , де,.

в) частота

події А відрізняється від його ймовірності р не більше ніж на величину Δ > 0 (за абсолютною величиною), тобто..

□ 1) Нерівність

рівносильна подвійній нерівності пр - Е

пр + Е. Тому за інтегральною формулою:

.

2) Нерівність

рівносильна нерівності a ≤ m ≤ b при a = nα і b = nβ. Замінюючи у формулах і,величини а іb отриманими виразами, отримаємо формули, що доводяться, і,.

3) Нерівність

рівносильна нерівності. Замінюючи у формулі, отримаємо формулу, що доводиться,.

Приклад. За статистичними даними, у середньому 87% новонароджених доживають до 50 років. Знайти ймовірність того, що з 1000 новонароджених частка (частина) тих, що дожили до 50 років, буде: а) укладена в межах від 0,9 до 0,95; б) відрізнятиметься від ймовірності цієї події не більше, ніж на 0,04 (за абсолютною величиною)?

Рішення. а) Імовірність того, що новонароджений доживе до 50 років, дорівнює 0,87. Т.к. n = 1000 велике (умова npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 виконано), то використовуємо наслідок інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Спочатку визначимо:

, . Тепер за формулою:

.

Б) За формулою

:

. Оскільки нерівність

рівносильна нерівності, отриманий результат означає, що практично достовірно, що від 0,83 до 0,91 числа новонароджених з 1000 доживуть до 50 років.

Поняття «випадкова величина» та її опис.Дискретнавипадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежнівипадкові величини. Приклади.

Підвипадковою величиноюрозуміється змінна, яка в рез-ті випробування в зав-ти від випадку приймає одне з можливої ​​множини своїх значень (яке саме - заздалегідь не відомо).

Приклади випадкових величин: 1) кількість дітей, що народилися, протягом доби в м. Москві; 2) кількість бракованих виробів у цій партії; 3) кількість зроблених пострілів до першого влучення; 4) дальність польоту артилерійського снаряда; 5) витрата електроенергії на пр-ті за місяць.

Випадкова величина називаєтьсядискретною (перервною), якщо безліч її значень кінцеве, або нескінченне, але лічильне.

Підбезперервною випадковою величиноюрозумітимемо величину, нескінченну незліченну безліч значень якої - деякий інтервал (кінцевий або нескінченний) числової осі.

Так, у наведених вище прикладах 1-3 маємо дискретні випадкові величини (у прикладах 1 і 2 - з кінцевим безліччю значень; у прикладі 3 - з нескінченним, але лічильним безліччю значень); а прикладах 4 і 5 - безперервні випадкові величини.

Визначення. Випадковою величиною Х називається функція, задана на безлічі елементарних результатів (чи просторі елементарних подій), тобто.

, де ω - елементарний результат (або елементарна подія, що належить простору Ω, тобто.).

Длядискретної випадкової величинибезліч

можливих значень випадкової величини, тобто. функції, звісно чи рахунково, длябезперервної- нескінченно і незліченно.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту Х, У, Z. а їх значення – відповіднимималими літерами х, у, z.

Визначення. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Про випадкову величину говорять, що її «розподілено» за цим законом розподілу або «підпорядковано» цьому закону розподілу.

Для дискретної випадкової величинизакон розподілу м.б. заданий у вигляді таблиці, аналітично (у вигляді формули) та графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини Х є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

---