Інтерполювання за схемою Ейткена - Студопедія

Ітераційні методи інтерполювання ґрунтуються на повторному застосуванні деякої простої інтерполяційної схеми. Найбільш відомим із ітераційних методів є метод Ейткена, в основі якого лежить багаторазове застосування лінійної інтерполяції.

Відповідно до схеми Ейткена лінійна інтерполяція за точкамиMi(xi,yi) іMi+1(xi+1,yi+1) зводиться до обчислення визначника другого порядку

При інтерполюванні по трьох і більше точках послідовно обчислюються багаточлени

У загальному випадку інтерполяційний багаточленn-го ступеня, що приймає в точкахxiзначенняyi(i =), записуються наступним чином:

Основною перевагою схеми Ейткена є можливість поступового збільшення числа значеньxiдо тих пір, поки послідовні значенняP0,1,2,…,n(x) іP1,2,…,n-1(x) не співпадуть у межах заданої точності. Інакше кажучи, обчислення припиняються під час виконання умови

P0,1,2,…,n(x) -P1,2,…,n-1(x) I), показують, чи обчислені відповідні значенняP(x) на даний момент, і визначаються як

Схема рекурсивної процедури PX наведена на рис. 1, де Х - масив значень вузлів інтерполювання, Y - масив значень функції вузлів інтерполювання, Z - значення аргументу. Параметри X, Y, Z, M повинні бути описані як загальні для основної програми та підпрограми PX.

1.3. Інтерполяційні формули Ньютона

для рівновіддалених вузлів

Вузли інтерполюванняx0,x1, .xnназиваються рівновіддаленими, якщо , деh- крок інтерполювання. При цьому для деякої функціїf(x) таблично задаються значенняyi = f(xi), деxi = x0+ ih.

Існують дві формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання, які називаються відповідно першою та другою інтерполяційними формулами Ньютона і мають вигляд:

;

,

У цих формулах Di yj- кінцеві різниці, деi- порядок різниці,j- її порядковий номер, а параметриtіqвизначаються таким чином:

Кінцеві різниці першого порядку обчислюються як Dyj=yj+1 –yj, деj=, для вищих порядків використовується відома формула

(i= 2, 3, .;j= ).

Кінцеві різниці, що отримуються, зручно представляти в табличній формі записи, наприклад, у вигляді табл. 1, яка називається горизонтальною таблицею кінцевих різниць.

Таблиця 1

x	y	Dy	D 2y	D 3y	D 4y
x0	Y0	Dy0	D 2y0	D 3y0	D 4y0
x1	Y1	Dy1	D 2y1	D 3y1	D 4y1
x2	Y2	Dy2	D 2y2	D 3y2	-[s1]
x3	Y3	Dy3	D 2y3	-	-[s2]
x4	Y4	Dy4	-	-	-[s3]
x5	Y5	-	-	-	-[s4]

Перша формула Ньютона застосовується для інтерполювання вперед і екстраполювання назад, тобто. на початку таблиці різниць, де рядки заповнені та є достатня кількість кінцевих різниць. При використанні цієї формули для інтерполяції значення аргументуxповинно лежати в інтервалі [x0,x1]. При цьому заx0може прийматися будь-який вузол інтерполяціїxkз індексом , деm- максимальний порядок кінцевих різниць.

Друга формула Ньютона застосовується для интерполирования і екстраполірування вперед, тобто. наприкінці таблиці кінцевих різниць. При цьому значення аргументуxмає знаходитися в інтервалі [xn-1,xn], причому заxnможе прийматися будь-який вузол інтерполювання.

Одна з найважливіших властивостей кінцевих різниць полягає у наступному. Якщо кінцеві різниціi-го порядку (i

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---