Інтерполування функцій - Банк рефератів, творів, доповідей, курсових та дипломних робіт
Інтерполювання за схемою Ейткена
Інтерполяційні формули Ньютона для рівновіддалених вузлів.
Формула Ньютона з розділеними різницями
Мета роботи: вивчення та порівняльний аналіз методів інтерполяції функцій; реалізація цих методів у вигляді машинних програм мовою високого рівня та практичне вирішення завдань інтерполяції на ЕОМ.
При розробці математичного забезпечення САПР часто доводиться мати справу з функціями f(x), заданими у вигляді таблиць, коли відомі певна кінцева множина значень аргументу і відповідні значення функції. Аналітичний вираз функції f(x) у своїй невідомо, що дозволяє визначати її значення проміжних точках аргументу, відсутніх у таблиці. У такому випадку вирішується завдання інтерполювання, яке формулюється в такий спосіб.
На відрізку [a, b] задано n + 1 точки x0, x1, . xn, які називаються вузлами інтерполяції, та значення деякої функції f(x) у цих точках f(x0)=y0, f(x1)=y1, . f(xn)=yn. Потрібно побудувати інтерполюючу функцію F(x), що у вузлах інтерполяції самі значення, як і f(x), тобто. таку, що F(x0)=y0, F(x1)=y1, . F(xn)=yn.
Геометрично це означає, що потрібно знайти криву y = F(x) деякого певного типу, що проходить через задану систему точок Mi(xi, yi) для i = . Отримана таким чином інтерполяційна формула y = F(x) зазвичай використовується для обчислення значень вихідної функції f(x) для значень аргументу x, відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполюванням функції f(x). При цьому розрізняють інтерполювання у вузькому значенні, коли x належить інтервалу [x0, xn], та екстраполювання, коли x не належить цьомуінтервалу.
У такій загальній постановці завдання інтерполювання може мати безліч рішень. Щоб отримати єдину функцію F(x), необхідно припустити, що ця функція не є довільною, а задовольняє деяким додатковим умовам.
У найпростішому випадку передбачається, що залежність y = f(x) кожному інтервалі (xi, xi+1) є лінійною. Тоді для кожної ділянки (xi, xi+1) як інтерполяційна формула y = F(x) використовується рівняння прямої, що проходить через точки Mi(xi, yi) і Mi+1(xi+1, yi+1), яке має вигляд
.(1)
p align="justify"> При програмуванні процедур лінійної інтерполяції слід враховувати, що процес вирішення задачі інтерполювання з використанням формули (1) включають два етапи: вибір інтервалу (xi, xi+1), якому належить значення аргументу х; власне обчислення значення y = F(x) за формулою (1).
На практиці як інтерполююча функція F(x) зазвичай використовується алгебраїчний многочлен
ступеня не вище n, такий, що Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y1, . Pn(xn) = yn. Найбільш відомими методами побудови інтерполяційного багаточлена Pn(x) є метод Лагранжа, ітераційні та різницеві методи.
1. Формула Лагранжа
Інтерполяційна формула Лагранжа забезпечує побудову многочлена алгебри Pn(x) для довільно заданих вузлів інтерполювання. Для n+1 різних значень аргументу x0, x1, . xn та відповідних значень функції f(x0)=y0, f(x1)=y1, . f(xn)=yn інтерполяційна формула Лагранжа має вигляд
,
де х – значення аргументу функції, розташованого в інтервалі [x0, xn].
Слід зазначити, що формула Лагранжа, на відміну інших інтерполяційних формул, містить явно yi (i=), щобуває іноді важливо.
Приклад 1.Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для функції, заданої наступною таблицею.