Ізометричне перетворення - Технічний словник Том III
Ізометричні перетворення утворюють групу. Ізометричні перетворення називаються також рухами. Якщо репери, з якими асоційовано рух, однойменні, воно називається власним, інакше - невласним. Ізометричні перетворення утворюють підгрупу групи всіх афінних перетворень. Ізометричні перетворення нескінченних фігур називаються інакше рухами. Рухи, що зберігають у фігур щонайменше одну точку інваріантної, відносяться до класу ортогональних перетворень. Усі зустрічалися нам досі групи симетрії нескінченних і кінцевих фігур - просторові і точкові - відносяться, отже, до груп рухів та їх ортогональних підгруп. Знайти ізометричне перетворення, що є добутком симетрії щодо площини 1х - у - - 52 15 0 і переносу, що визначається вектором 4, 3, 1, компланарним цієї площини. Знайти ізометричне перетворення, що переводить точки ( 0, 0, 0), ( 1, 0, 0), ( 1, 1, 0) відповідно: точки ( 1, 0, 0), ( 1, 1, 0 ), (1, 1, 1): 1) що зберігає орієнтацію. Кожне ізометричне перетворення U: V - V, для якого U (0) 0, лінійно. Будь-яке ізометричне перетворення сегмента в поверхню обертання виходить дзеркальним відображенням його частини в деякій площині, перпендикулярної осі, або послідовним виконанням ряду таких відбитків. Для будь-яких ізометричних перетворень det (U) 1, тобто перетворення U: V - V зберігає обсяг. Для ізометричних перетворень S: V - V косо-метричної невиродженої білінійної форми w ( x y) - w ( y x), ye V, характеристичний багаточлен зворотний. Про ізометричне перетворення (коротко - про ізо-метрію) можна говорити в дещо ширшомуплані, ніж у гол. Саме розглядати його не як лінійне перетворення, а як перетворення виду (1), що зберігає відстань між точками. Тоді і лінійне ізометричне перетворення, і паралельне перенесення є ізометріями, і їх суперпозиція є ізометричною. Тому афінне перетворення являє собою добуток стисків по портогональних напрямках і деякої ізо-метрії. Розглянемо ще приклади ізометричних перетворень і наведемо деякі властивості. У цій реалізації ізометричними перетвореннями V 1 будуть проективні перетворення, які переводять зовнішність одиничної кулі в себе. Цей функціонал визначено на ізометричних перетвореннях серединної поверхні оболонки. В евклідовому векторному просторі V ізометричне перетворення зберігає скалярне твір.
Симплектична група визначається як група ізометричних перетворень симплектичної геометрії (визначення 1 § VII, стор. Автоморфізми простору V іноді називають ізометричними перетвореннями або ізометріями. В аналітичній геометрії поряд з ізометричними перетвореннями розглядаються також афінні та проектні> Тому всякий поворот / 8 є ізометричним перетворенням. Наявність особливостей у вигляді ребер на ізометричному перетворенні F поверхні F і близькість поверхні F до F дають підставу говорити про ребри ( згладжені ребри) на деформованій поверхні оболонки F. Зрозуміло, їх форма і положення визначені тільки у відомому наближенні, що залежить від близькості деформованої оболонки F до поверхні F. Для того щоб умовним ребрам Y на поверхні деформованої оболонки приписати певну форму і положення, ми надійдемо таким чином.по ізометрії відповідає деяка крива у вихідної поверхні F. При аналізованої деформації цієї кривої на деформованій оболонці відповідає крива Y-Цю криву природно прийняти за умовне ребро. Оскільки серединна поверхня оболонки не допускає регулярних ізометричних перетворень, то ізометричне наближення пружно деформованої оболонки має належати ширшому класу кусково-регулярних поверхонь. IX доведено, що на двовимірній евклідовій площині довільне ізометричне перетворення визначається в ортонормуванні базисі координатним поданням з довільною ортогональною матрицею (з визначником будь-якого знака); воно є або обертанням площини деякий кут, або дзеркальним відображенням, або добутком деякого обертання на дзеркальне відображення. Отже, група PtJ(H) всіх ізометричних перетворень Р(Н) ізоморфна фактор-групі П(Н)/С, де U(Н) - група всіх унітарних та антиунітарних операторів у Н, а С - її центр, що складається із скалярних унітарних операторів. Показати, що лінійна поверхня, що не розгортається, не допускає ізометричних перетворень, при яких всі асимптотичні лінії вихідної поверхні переходять в асимптотичні лінії перетвореної поверхні. Оскільки форма оболонки при значній деформації близька до ізометричного перетворення вихідної поверхні, то в пошуках вирішення варіаційної задачі для функціоналу WU-А природно обмежитися розглядом форм, близьких до ізометричних перетворень. Розв'язання задачі полегшується завдяки певній специфіці ізометричних перетворень, поблизу яких знаходиться шукана форма. Уявимо собі спостерігача, жорстко пов'язаного з досліджуваною фігурою і відчуває ізометричніперетворення разом із нею. Будь-яке переміщення ( рух) постаті у просторі буде з погляду внутрішнього спостерігача перетворенням симетрії постаті, оскільки він зберігає всі внутрішні властивості об'єкта: у кожний момент руху фігура, як ціле, збігається із собою. У той же час для зовнішнього спостерігача, жорстко пов'язаного з будь-якою нерухомою системою відліку, перетворення симетрії фігури, крім збереження відносного розташування частин, має зберігати початкове положення та орієнтування фігури загалом у фіксованій області простору. Говорячи про симетрію фігур у цій книзі, ми всюди мовчазно розуміємо саме зовнішню симетрію: група зовнішньої симетрії фігури визначається сукупністю перетворень (ізометричних чи ортогональних), під впливом яких частини фігури обмінюються місцями, а фігура загалом збігається у початковому становищі із собою. Прикладами топологічних відповідностей є: паралельне перенесення, симетричне перетворення, ізометричне перетворення. Центральна проекція, описана на сторінці Маючи на увазі це завдання для циліндричних оболонок, ми розглянемо спочатку ізометричні перетворення циліндричних поверхонь. Таким чином, класифікація квадратичних функцій та їх нульових юверхностей рівня щодо ізометричних перетворень повністю проведена. У результаті виходить, що обидва доданки функціоналу W визначені на ізометричних перетвореннях вихідної форми і тому загальний варіаційний принцип зводиться до наступного варіаційного принципу А.
З іншого боку, за доказом теореми 47.2 ми показали, що ізометричне перетворення переводить ортонормований репер в ор-тонормований. Застосування принципу Л щодо вивчення закритичних пружнихстанів оболонки передбачає визначення низки величин ізометричного перетворення серединної поверхні. Маючи на увазі найближчі додатки, ми визначимо такі величини у разі дзеркального витріщення малих областей. Деформація з малою зміною внутрішньої метрики природно призводить до форм, близьких до ізометричних перетворень. У табл. 8 ми наводимо список елементів симетрії фігур і ізометричних перетворень, що виконуються з їх допомогою в тривимірному просторі. Щодо енергії деформації, то її не можна так просто виразити в залежності від параметрів ізометричного перетворення. Справа в тому, що ізометричне перетворення добре відтворює справжню форму оболонки в класі безперервних поверхонь, але не відображає її будови поблизу геометричного ребра (характер згладжування ребра), а це істотно при визначенні енергії деформації. Грама G, багаточлен від змінної Я виду det (A - / lG) не змінюється при ізометричних перетвореннях форми на класах еквівалентності форми q (x, у): х А. Якісні міркування про характер очікуваних деформацій оболонки, що підказуються досвідом, що часто полегшують вирішення цього завдання, звужуючи клас ізометричних перетворень, на яких слід розглядати функціонал W. Що стосується самого функціонала, то він, будучи визначеним на ізометричних перетвореннях з порушенням регулярності вздовж ліній, залежить від однієї або декількох функцій, що задають форму цих ліній на поверхні. Визначити тип поверхні x2 2xy ay2 2yz z2 - залежно від napiiMC ipti і принести до канонічного виду ізометричним перетворенням. Перехід оболонки в деформований стан пов'язаний із значним вигином у площині меридіана, про що свідчить наявність геометричного ребра навідповідному ізометричному перетворенні. Цей вигин супроводжується появою значних напруг розтягування-стиснення в серединній поверхні у напрямку паралелі. З наочних міркувань ми робимо висновок, що деформація сильного вигину на межі витріщення і відповідні деформації серединної поверхні для досить тонких оболонок повинні мати місцевий характер. У цьому випадку є специфіка, яка полягає змістовно в тому, що на відміну від подібних і, тим більше, ізометричних перетворень, загалом афінні перетворення не зберігають форму зображення. Очевидно, що, наприклад, надмірними стисками та розтягуваннями фігуру можна зробити невпізнанною порівняно з оригіналом. Крім того, апріорі неясно, що розуміти під найточнішим поєднанням двох фігур, коли кожна з них розглядається з точністю до афінних перетворень. Досліджуючи закритичні пружні стани оболонок, ми будемо виходити з припущення про те, що пружна деформація оболонки, що супроводжується значною зміною її форми, близька до деякого ізометричного перетворення. Підставою цієї гіпотези і те, що основні конструкційні матеріали, якими є метали та його сплави, допускають незначні пружні деформації. Тому оболонка з такого матеріалу навіть за значної зміни її форми при деформації зазнає незначних змін метрики серединної поверхні. Природно, така деформація близька до ізометричного перетворення, при якому відбувається зміна форми поверхні, але не змінюється її внутрішня метрика. Оскільки форма оболонки при значній деформації близька до ізометричного перетворення вихідної поверхні, то в пошуках вирішення варіаційної задачі для функціоналу WU-А природно обмежитисярозглядом форм, близьких до ізометричних перетворень. Розв'язання задачі полегшується завдяки певній специфіці ізометричних перетворень, поблизу яких знаходиться шукана форма. Довжини ребер АВ, ВС, CD, DA визначені, і вони повинні бути відповідно перпендикулярні площинам A C - f) Л1В1О1, BjCiAi, C Dj B Отже, з точністю до ізометричних перетворень існує і Притому лише один тетраедр, що задовольняє умові завдання. Нехай а е д - ортонормований базис в Я і ha - одновимірний підпростір, породжений вектором а. Для будь-якого ізометричного перетворення S простору Р ( Н) існує таке перетворення S0 виду ( 3), що SS 1 зберігає на місці всі точки fta, as А. Координатні вектори в точці М кривої та поверхні. При ізометричному перетворенні поверхня веде себе як абсолютно гнучке та нерозтяжне середовище. Для вивчення кривизни ліній поверхні необхідно залучати поняття другої квадратичної форми. Рішення варіаційної задачі для функціоналу W - U-А ми розчленовуємо на два етапи. На першому етапі ізометричне перетворення фіксується та функціонал розглядається на формах, близьких до цього ізометричного перетворення. Розв'язання задачі на цьому етапі вдається отримати в замкнутому вигляді при найзагальніших припущеннях про поверхню оболонки та її ізометричному перетворенні. Знайдене другого етапу ізометричне перетворення, виправлене малої добавкою, отриманої першому етапі, і дає справжню форму оболонки при заданому навантаженні. Виявляється, такі ізометричні перетворення допускають дуже простий опис. Для повноти викладу нагадаємо деякі факти, що стосуються згинання опуклих поверхонь. У § 11 ми довели, що в тому випадку, коли як U (OX) OXo розглядаютьсядовільні афінні перетворення простору А, то кожен клас еквівалентності характеризується рангом, сигнатурою квадратичної форми та властивістю функції бути центральною. Звужуючи безліч перетворень до ізометричних перетворень білінійної форми w (x у), ми будь-який зі знайдених у § 1 класів розіб'ємо на нові класи еквівалентності. Щодо енергії деформації, то її не можна так просто виразити в залежності від параметрів ізометричного перетворення. Справа в тому, що ізометричне перетворення добре відтворює справжню форму оболонки в класі безперервних поверхонь, але не відображає її будови поблизу геометричного ребра (характер згладжування ребра), а це істотно при визначенні енергії деформації. Оскільки форма оболонки при значній деформації близька до ізометричного перетворення вихідної поверхні, то в пошуках вирішення варіаційної задачі для функціоналу WU-А природно обмежитися розглядом форм, близьких до ізометричних перетворень. Розв'язання задачі полегшується завдяки певній специфіці ізометричних перетворень, поблизу яких знаходиться шукана форма.