Ізоморфізм кілець, handmath
Аматорська математика - своїми руками
На розглянемо додавання та два множення:
Переконайтеся, що " title="\left " class="latex" /> і " title="\left " class="latex" /> - Кільця з одиницею. Знайти дільники нуля в першому кільці і довести, що друге ізоморфно "Ізоморфні ці два кільця?"
Нехай тоді очевидно, що аксіоми комутативності та асоціативності складання та існування нуля і протилежного елемента, а також комутативності обох множень і виконуються. Асоціативності творів перевіряються безпосередньо:
те саме стосується і дистрибутивності (досить перевірити лише праву, оскільки ми вже довели, що множення комутативно):
Одиницею в обох випадках, як також неважко переконатися, буде елементи .
Отже, " title="\left " class="latex" /> і " title="\left " class="latex" /> - Кільця з одиницею. Знайдемо дільники нуля в "title="\left" class="latex" />:
Легко бачити, що рішеннями цієї системи будуть, наприклад, елементи і, взагалі кажучи, відмінні від нуля.
Що таке ізоморфізм кілець?
Гомоморфізмом кілець називають таке відображення, при якому
а ізоморфізмом - бієктивний гомоморфізм. Якщо виписати явно формули для комплексного множення в координатному записі, стає ясно, що відображення є ізоморфізмом між " title="\left " class="latex" /> і " title="\left " class="latex" / >. Узагальнення, необхідне умові завдання, полягатиме в наступному. Нехай - кільце без дільників нуля, ізоморфне кільце, тоді нехай є ізоморфізм між ними і, а значить
звідки отримуємо, що або , або , тобто , або , оскільки при гомоморфізм нуль кільця переходить внуль, а добуток дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли дорівнює нулю хоча б один із множників. Таким чином, якщо два кільця ізоморфні, то в них одночасно є дільники нуля, або ні. У дільників нуля немає (оскільки це взагалі поле - там можна запросто ділити на ненульові елементи), тому їх немає і в "title="\left" class="latex" />, яке, у свою чергу, не може бути ізоморфно " title="\left " class="latex" />, оскільки в ньому є дільники нуля, як було показано вище.