Ізоморфізми та гомоморфізми
Назва роботи: Ізоморфізми та гомоморфізми
Предметна область: Математика та математичний аналіз
Опис: Нагадаємо, що відображення називається ін'єктивним, якщо воно переводить різні елементи з X в різні елементи Y і сюр'єктивним, якщо його образ збігається з усім Y. Наприклад, природний гомоморфізм групи на підгрупу сюр'єктивний. З визначення відразу випливає, що гомоморфізм.
Дата завантаження: 2014-09-12
Розмір файлу: 290 KB
Роботу завантажили: 4 чол.
Ізоморфізми та гомоморфізми
Нехай і дві групи та деяке відображення. називається ізоморфізмом, а групи і - ізоморфними (однотипними), якщо
1. - взаємно однозначно та
Ізоморфізм груп і позначається символом.
Якщо виконано лише умова 2. то відображення називається гомоморфізмом (подібністю).
1. Нехай групи та задані таблицями множення:
Відображення є ізоморфізмом. (При кожному ізоморфізмі просто змінюються позначення елементів. “Внутрішня структура” групи залишається незмінною).
2. Нехай = Z (група цілих чисел з операцією додавання), - група з попереднього прикладу. Покладемо: (2n) = p; (2n+1)=q.
3. Нехай H - нормальна підгрупа G і G/H відповідна факторгрупа. Нагадаємо, що її елементами є різні суміжні класи x * H, де . Визначимо відображення формулою: (x) = x * H. Оскільки суміжні класи перемножуються за формулою (x * H) * (y * H) = (x * y) * H, відображення є гомоморфізмом. Воно називається природним гомоморфізмом групи на факторгрупу.
Найпростіші властивості гомоморфізмів груп.
Нехай – гомоморфізм. Тоді:
Якщо підгрупа, то підгрупа в .
Якщо – (нормальна) підгрупа, то – (нормальна) підгрупа в .
Нехай – будь-який елемент. Тоді і поознакою нейтрального елемента.
Маємо: . За ознакою зворотного елемента отримуємо: .
Застосуємо ознаку підгрупи:
Нехай – підгрупа. - Елементи з , тобто і входять до К. Тоді і тому. Значить, - підгрупа. Нехай тепер К – нормальна підгрупа та – будь-який елемент. Тоді й означає. Аналогічно, . Оскільки , то й , тобто підгрупа нормальна в .
Образ нормальної підгрупи який завжди нормальний.
З доведеної теореми випливає зокрема, що для будь-якого гомоморфізму підгрупа в. Вона називається образом гомоморфізму і позначається Im. Так само, - підгрупа в , причому нормальна, оскільки тривіальна підгрупа нормальна в будь-якій групі. Вона називається ядром гомоморфізму і позначається Ker.
Ін'єктивні та сюр'єктивні гомоморфізми.
Нагадаємо, що відображення називається ін'єктивним, якщо воно переводить різні елементи X в різні елементи Y і сюр'єктивним, якщо його образ збігається з усім Y. Наприклад, природний гомоморфізм групи на підгрупу сюр'єктивний. З визначення відразу випливає, що гомоморфізм cюр'єктивний тоді і тільки тоді, коли Im .
Критерій ін'єктивності гомоморфізму груп
Гомоморфізм груп ін'єктивний тоді й лише тоді, коли Ker =<>.
Оскільки , і це означає, якщо ін'єктивно в ядрі не може бути інших елементів і таким чином Ker =. Назад, нехай ядро складається тільки з нейтрального елемента і x і y - два такі елементи, що . Тоді і значить і тому одно. Звідси отримуємо x=y та ін'єктивно.
Якщо Ker=, то ізоморфно відображає на підгрупу Im.
Будь-яка кінцева група порядку n ізоморфна підгрупі групи перестановок з елементів n.
Нехай G=<>- група порядку n. Складемо для неї таблицю Келі. У i-му рядку цієї таблиці виписані елементи, які лише порядком прямування відрізняються від початкового набору елементів групи. Позначимо отриману перестановку. Визначимо відображення за формулою. Як відомо, твору елементів групи G відповідає композиція перестановок, тобто -гомоморфізм. Якщо, то зокрема і означає. Таким чином, Ker тривіально і визначає ізоморфізм між G і підгрупою Im в .
Теорема про гомоморфізм для груп
Нехай сюр'єктивний гомоморфізм. Тоді фактор група ізоморфна. Якщо ці ізоморфні групи ототожнити, то перетворюється на природний гомоморфізм.
Позначимо H = ker. Наступним чином визначимо відображення
. Нехай С довільний елемент тобто деякий суміжний клас групи за її підгрупою H. Візьмемо будь-який. Тоді залежить від вибору елемента x. У насправді, якщо будь-який інший елемент, то y=x*h, де й отже, . Припустимо: . Використовуючи правило перемноження суміжних класів, отримуємо: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)= = Ф(x*H)Ф(y*H), тобто побудоване відображення – гомоморфізм. Якщо будь-який елемент, то оскільки сюр'єктивно, знайдеться такий, що . Але тоді Ф(x*H)=. Значить Ф – сюр'єктивно. Якщо Ф(x*H)= , то ф(x)= , тому x*H=H= . Це доводить, що Ker Ф=е і значить Ф - ін'єктивно і, отже, є ізоморфізмом. Оскільки(x)= Ф(x*H), бачимо, що й вважати ізоморфізм Ф тотожним відображенням ( тобто ототожнити і G/H), відображення збігається з природним гомоморфізмом, що переводить x в x*H.
Будь-який гомоморфізм визначає ізоморфізм між факторгрупою і підгрупою Im.
Нехай = з операцією множення. Визначимо гомоморфізм ), зіставляючи кожній парній перестановці число 1, а непарної - число (-1). Тоді Ker – підгрупа парних перестановок. Очевидно, що при n>1 сюр'єктивно. По теоремі про гомоморфізм-Нормальна підгрупа в і.
Відображення (А)=det(A) є сюр'єктивним гомоморфізмом групи GL(n, R ) всіх невироджених матриць порядку n групи не рівних нулю чисел з операцією множення. У цьому Ker = SL(n, R ) -підгрупа матриць з визначником 1. Значить ця підгрупа нормальна і GL(n, R ) /SL(n, R ) .