ЯК ЛЮДИ ВРАЖАЛИ В СТАРОВУ І ЯК ПИСАЛИ ЦИФРИ Світ небесних і фігури
Усі числа ми звикли записувати за допомогою десяти знаків-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наприклад, число, що складається з чотирьох сотень, чотирьох десятків та чотирьох одиниць, ми записуємо так : 444. При цьому той самий знак «4» позначає число одиниць, якщо він стоїть на останньому місці, число десятків — якщо на передостанньому, і число
десятків десятків, тобто сотень, якщо він стоїть на третьому місці від кінця. Такий принцип запису чисел називається позиційним чи помісним, оскільки кожна цифра набуває числове значення у залежність від свого накреслення, а й від цього, де вона стоїть під час запису числа. Позиційний принцип дозволяє за допомогою десяти знаків-цифр записати будь-яке скільки завгодно велике число. Справді, нехай нам дано ціле число N. Для того, щоб записати його в нашій системі, знаходимо спочатку залишок від розподілу N на 10, потім залишок від розподілу приватного на 10 і т. д. - доти, поки як приватний не отримаємо числа, меншого 10. Наприклад:
N = 523 = 10 • 52 +3; 52 = 10 • 5 +2; 5 = 10 • 0 +5.
Отримані залишки є послідовними цифрами нашого числа, записаного в позиційній десятковій системі:
N=523, або, докладніше:
Для тих, хто знайомий з алгеброю, скажемо, що кожне ціле число М можна подати в такому вигляді. Якщо
10n £ М 30кГ. Крім того, кожне число Q, не більше 31, можна подати у вигляді:
Q = b424 + b323 + b222 + b12 + b0,
де кожен із коефіцієнтів b0, b1 b2, b3, b4 буде, як і потрібно, або нулем, або одиницею.
Нехай, наприклад, треба зважити вантаж 22 кг. Запишемо число 22 по двійковій системі:
Значить, потрібно взяти гирі р2 = 2 кг ', р3 = 4 кг і р5 = 16 кг.
ТеперДещо видозмінимо завдання: нехай потрібно вибрати 4 гирі, за допомогою яких можна було б зважити будь-який вантаж до 40 кг, за умови, що гирі можна класти і на ліву і на праву чашу терезів.
Неважко переконатися, що для вирішення цього завдання потрібно скористатися троїчною системою числення, тобто вибрати наступні 4 гирі: р1 = 1 кг, р2 = 3 кг, р3 = 9 кг, р4 = 27 кг.
Нехай, наприклад, треба зважити вантаж 19 кг. Число 19 представимо у вигляді:
19 = 3•6 + 1 = 3•(3•2)+1=2•9+1=0•27+2•9+0•3+1=2013.
Тепер вантаж у 19 кг кладемо на праву чашу терезів. На ліву кладемо вантаж на 1 кг. Потім треба було б покласти туди ще 2 гирі по 9 кг, але ми маємо тільки одну таку гиру.
Але 18 = 2 • 9 можна уявити ще й інакше: 18 = 2 • 9 = (3-1) • 9 = 27-9,
тобто на ліву чашу терезів треба покласти ще гирю в 27 кг, на праву - в 9 кг.
Також будемо чинити і в інших випадках. Якщо вантаж Q £ 40 кг, то його можна завжди уявити у вигляді:
Q = b333 + b232 + b13 + b0,
де кожен із коефіцієнтів b0, b1, b2, b3 може дорівнювати 0, 1 або 2. Якщо він дорівнює О, то відповідну гирю відставляємо убік; якщо 1, то кладемо її на ліву чашу терезів; якщо 2, то чинимо так, як щойно робили, тобто кладемо гирю на праву чашу терезів, а наступну за величиною гирю - на ліву. Слід пам'ятати, що, хоча в різних системах числення записуються по-різному, основні властивості їх від цього не змінюються: так, число 20 буде ділитися на 2, в якій би системі ми його не записали, а 27 не буде ділитися на 2, але ділитися на 3. Числа 3, 5, 7 залишаться простими у будь-яких системах числення. Однак ознаки ділимості, які встановлюються виходячи із запису числа в певній системі числення, змінюватимуться разом із основою системи. Так,число ділиться на 5, якщо його запис за десятковою позиційною системою закінчується нулем або п'ятіркою. Але число не завжди ділиться на 5, якщо на 0 закінчується його запис у троїчній системі, наприклад, числа 103 (т. е. 3), 1003 (т. е. 9), 10003 (т. е. 27) не діляться на 5 , А число 1203 (тобто 15) ділиться на 5.
І український, і француз, і німець одне й те саме число назвуть по-різному (своєю мовою), а запишуть його однаково.