Як розуміти квантову механіку - Стор 8

3.1. В ЄРОЯТНОСТІ ТА АМПЛІТУДИ ІМОВІРНОСТІ

І нехай ми провели над цією класичною системою вимір, який встановив, що x належить певному відрізку x [a, b]. Імовірність, що вимір дасть такий результат, становить

Відразу після такого вимірювання ймовірність (щільність ймовірності) будь-якого значення x поза заданим відрізком звернулася в нуль. Для точок усередині відрізка відносини ймовірностей не змінилися. Таким чином

ймовірність задаватиметься так:

Ми можемо спростити формули для класичних ймовірностей, позбавившись сум, якщо скористаємося Дірака. δ (x) - нескінченно вузький і нескінченно високий пік, що сидить у нулі, такий, що інтеграл від нього дорівнює 1. - не справжня функція, а узагальнена. Значення узагальненої функції f ( x ) у точці x 0 може бути не визначено, зате для будь-якої «досить хорошої» функції ϕ ( x ) визначено інтеграл

Визначенням є співвідношення:

δ(x) ϕ(x) dx = ϕ(0).

Ми можемо модифікувати розподіл ймовірностей так, щоб він також описував ймовірності дискретних подій:

p x 0 · δ ( x - x 0 ) .

Тепер ми можемо написати сумарну ймовірність так:

Слід зауважити, що даний спосіб позбавлення від сум не спрацює для амплітуд ймовірностей, тому що для цього довелося б витягувати із квадратний корінь, а вилучення кореня з узагальнених функцій не визначено.

(x)

Мал. 3.3. Зміна розподілу ймовірностей при позитивному та негативному результатах виміру.

зом, з початкового розподілу ймовірностей «вирізається» відрізок [ a, b ] , всі ймовірності поза ним обнуляються, а всі ймовірності на цьому відрізку поділяються на p [ a, b ] , щоб сумарнаймовірність нового розподілу знову виявилася одиницею.

Нехай квантова система знаходиться в суперпозиції станів, що нумеруються параметром x, і нам задані амплітуди ймовірностей, тобто якщо x

дискретно, то зведення амплітуди за модулем у квадрат дає можливість кожного значення x , а якщо x безперервно, то зведення амплітуди за модулем у квадрат дає щільність ймовірності як функцію від x . При цьому сумарна ймовірність, що отримується підсумовуванням (інтегруванням) ймовірності (щільності ймовірності) за всіма значеннями x дорівнює 1.

І нехай ми провели над цією квантовою системою вимір, який встановив, що x належить певному відрізку x [a, b]. Імовірність, що вимір дасть такий результат, становить

p [a, b] = ψ(x) 2 dx.

3.1. В ЄРОЯТНОСТІ ТА АМПЛІТУДИ ІМОВІРНОСТІ

(x)

Мал. 3.4. Зміна хвильової функції при позитивному та негативному результатах виміру.

Відразу після такого виміру амплітуда ймовірності будь-якого значення x поза заданим відрізком звернулася в нуль. Для точок усередині відрізка відношення амплітуд ймовірностей не змінилося. Таким чином, з початкової хвильової функції «вирізується» відрізок [a, b], всі амплітуди поза ним обнуляються, а всі амплітуди на цьому відрізку діляться на √p[a,b], щоб сумарна ймовірність нового розподілу знову виявилася одиницею.

Вимірювання та проектор

Операцію вирізування відрізка [a, b] з хвильової функції ми можемо

описати за допомогою лінійного оператора P [a, b]:

P [ a, b ] ψ ( x ) = I [ a, b ] ( x ) ψ ( x ) ,

де I W - характеристична функція множини W

1 x W, I W (x) = 0 x W.

Оператор P [a, b] є проектором(тобто він проектує всі хвильові функції на деякий лінійний підпростір хвильових функцій), що означає, що дворазова дія цього оператора дає той самий результат, що і одноразове

P [ a, b ] P [ a, b ] ψ ( x ) = I [ a, b ]

( x ) ψ ( x ) = I [ a, b ] ( x ) ψ ( x ) = P [ a, b ] ψ ( x ) .

Визначаючи твір операторів як оператор, дія якого на довільну хвильову функцію дає той самий результат, що й послідовна дія (справа наліво) всіх співмножників, ми можемо записати визначення проектора наступним чином:

Надалі ми будемо мати справу і з іншими лінійними операторами, що діють на хвильові функції, при цьому багато фізично осмислених операторів виявляться пов'язані з проекторами.

3.1.5. Амплітуда при вимірі та скалярний твір

Нехай хвильова функція Ψ(n) задає амплітуду ймовірності виявити систему у взаємовиключних станах n, нумерованих дискретним параметром n. Стану n утворюють максимальний набір взаємовиключних станів , тобто якщо система знаходиться в стані n , то вона не може бути знайдена в стані φ k ( k = n ), причому набір не може бути розширений.

Оскільки сумарна ймовірність одиниця, слід покласти умову нормування на одиницю:

Ψ 2 = Ψ Ψ = Ψ(n) 2 = 1 .

Таким чином, ми маємо природну операцію взяття скалярного квадрата хвильової функції. Маючи операцію взяття скалярного квадрата, ми можемо запровадити операцію взяття скалярного твору:

Компонента хвильової функції Ψ( n ) може бути записана як скалярний добуток функції Ψ на базисну функцію φ n ( φ n ( k ) = δ nk ),

3.1. В ЄРОЯТНОСТІ ТА АМПЛІТУДИ ІМОВІРНОСТІ

яка також нормована на одиницю:

Ψ( n ) =φ n Ψ = Ψ φ n , φ n φ k = δ nk

Ми вже знаємо фізичний зміст компоненти Ψ( n ) хвильової функції, як амплітуди ймовірності того, що система, що знаходиться в стані Ψ буде виявлена в стані φ n , і це дозволяє нам встановити фізичний сенс скалярного твору двох нормованих на одиницю хвильових функцій. Аргументи скалярного твору рівноправні (з точністю до комплексного сполучення), так що Ψ (n) = Ψ φ n - амплітуда ймовірності зворотного процесу, тобто амплітуда того, що система, яка перебувала в стані φ n, буде знайдена в стані Ψ.

Ми можемо фізично інтерпретувати формулу для скалярного множення хвильових функцій у термінах множення та складання амплітуд ймовірності.

Нехай Ψ визначає початковий стан системи, а Φ - кінцевий (Ψ 2 = Φ 2 = 1). Ми розглядаємо вимір, який має відповісти на запитання «Чи знаходиться система у стані Φ?». Стрибок у стан Φ ми розглядатимемо як «сприятливий» результат виміру.

Можна вважати, що перехід зі стану Ψ в стан Φ здійснюється через будь-який проміжний стан φ n , причому визначити через який саме стан φ n пройшла система в принципі неможливо.

Амплітуда переходу з Ψ в Φ через φ n задається як добуток амплітуд переходу з Ψ в φ n і з φ n в Φ :

A Φ ←φ n ← Ψ = Φ(n) Ψ(n).

Сумарна амплітуда переходу задається сумою (інтегралом, у разі безперервного спектру по n) по всіх проміжних станах φ n :

A Φ ← Ψ = Φ(n) Ψ(n).

Обчислення амплітуди переходу може бути рис. 3.5, який по суті є іншим записом формули (3. 13).

Таким чином, виявляється, що для хвильових функцій є фізично осмислене скалярнетвір, що дає для нормованих на одиницю хвильових функцій амплітуду ймовірності переходу з одного

*(2) (2)

Мал. 3.5. Перехід від Ψ до Φ відбувається через усі можливі взаємовиключні стани n за стрілками з відповідними амплітудами згідно (3.13).

стану в інше при вимірі. Сама структура формули скалярного твору має фізичний зміст, показуючи, що перехід здійснюється через усі можливі взаємовиключні проміжні стани.

Набори амплітуд Ψ( n ) і Φ( n ) можна як компоненти комплексних векторів. Тоді заміна базису відповідатиме заміні набору взаємовиключних станів φ k (базиса) новим набором станів (базисом) φ k, який складається з суперпозицій (лінійних комбінацій) станів старого базису. Розкладання по новому базису буде нітрохи не гірше, ніж розкладання по старому, якщо новий базис також буде ортонормованим, тобто якщо скалярний твір (3. 13) буде в ньому задаватися колишньою формулою.

Виявляється природним дивитися хвильові функції як у комплексні вектори (можливо, нескінченномірні). Аргументи хвильових функцій нумерують компоненти вектора в конкретному базисі,

а значення хвильової функції у точці постає як компонент вектора.

3.2. Можливо все, що може статися (ф*)

Уявімо наступний експеримент, у якому частки вилітають із джерела і потрапляють на фотопластинку, де виникає інтерференційна картина. Нехай спочатку між джерелом та фотопластинкою немає жодних перешкод (рис. 3.6). Тепер помістимо між фотопластинкою та джерелом екран із двома щілинами (рис. 3.7). Щоб отримати амплітуду ймовірності попадання частинки в деяку точку платівки,

3.2. У МОЖЛИВО ВСЕ, ЩО МОЖЕ ВІДБУТИСЯ ( Ф *)

ми повинні скласти амплітуди попадання частки у задану точку двома різними способами: через першу щілину та через другу. Кожна з цих амплітуд обчислюється як добуток амплітуди влучення у відповідну щілину та умовної амплітуди влучення з цієї щілини у задану точку платівки

A f = A 1 A 1 →f + A 2 A 2 →f.

Мал. 3.6. Частинки безперешкодно падають на екран.