Калейдоскоп - геометрія та мистецтво

Калейдоскоп

Калейдоскоп (від грец. καλός - красивий, εἶδος - вигляд, σκοπέω - дивлюся, спостерігаю) - оптичний прилад-іграшка, найчастіше у вигляді трубки, що містить усередині три (іноді два або більше трьох) поздовжніх, складених під кутом дзеркальних стекол; при повертанні трубки навколо поздовжньої осі кольорові елементи, що знаходяться між дзеркалами, відображаються і створюють симетричні візерунки, що змінюються. Різне взаємне розташування дзеркал дозволяє отримати різну кількість дубльованих зображень: 45 ° - 8, 60 ° - 6, 90 ° - 4.

Калейдоскоп не просто дитяча іграшка, він застосовується в роботах дизайнерів для створення нових малюнків тканин, шпалер, в килимоткацтві. Історія калейдоскопа налічує майже 100 років, і спочатку це була розвага для дорослих. Потім з'явились і калейдоскопи для дітей.

мистецтво

КАЛЕЙДОСКОПИ (ВІНБЕРГ Е.Б., 1997), МАТЕМАТИКА

Принцип, що лежить в основі відомої іграшки – калейдоскопа, відіграє важливу роль у багатьох розділах математики. Відкидаючи убік можливість практичної реалізації, можна говорити про багатовимірні та неевклідові калейдоскопи. Їхнє вивчення складає яскраву сторінку геометрії, що містить як дивовижні результати, так і невирішені проблеми.

Калейдоскоп (що в перекладі з грецької означає "дивлюся гарний вигляд") - це дитяча іграшка, в якій різнокольорові шматочки скла, багаторазово відбиваючись у трьох дзеркалах, створюють гарний візерунок. Ці дзеркала розташовані як бічні грані правильної трикутної призми, утворюючи між собою кути, рівні p /3. Якби ці кути були іншими, то відображення б накладалися один на одного і не створювали симетричного візерунка. Однак, є виняткові випадки, коли цього не відбувається.

Описаний вище звичайний калейдоскоп по суті двовимірний,тому що ми бачимо в ньому плоский візерунок. Можна уявити собі тривимірний калейдоскоп як багатогранну камеру із дзеркальними стінками. Спостерігач, поміщений до неї, побачить багаторазові відображення всіх предметів, що знаходяться в ній. Як правило, ці відбиття будуть перекриватися, але є кілька випадків, коли відбиття не перекриваються і створюють тривимірний симетричний візерунок.

Якщо відкинути убік можливість практичної реалізації, то можна говорити і про багатовимірні калейдоскопи, а також про неевклідові калейдоскопи, а саме про калейдоскопи на сфері та у просторі Лобачевського. Калейдоскопи в евклідовому просторі та сфері будь-якої розмірності були вичерпним чином описані англійським математиком Х.С.М. Кокстером у 1934 році. Сферичні калейдоскопи тісно пов'язані з правильними багатогранниками.

Калейдоскопи на площині Лобачевського використовувалися ще наприкінці минулого століття А. Пуанкаре та Ф. Клейном у їхніх дослідженнях з теорії автоморфних функцій комплексного змінного. У 1958–1960 роках голландський художник М.К. Ешер створив кілька оригінальних картин-візерунів на базі цих калейдоскопів.

Крім вже згадуваних додатків калейдоскопів у геометрії (правильні багатогранники), теорії функцій комплексного змінного та теорії груп є не менш важливі їх додатки в теорії чисел, теорії алгебр Лі, алгебраїчної геометрії та інших розділах математики. Слід сказати, що в серйозній математичній літературі термін "калейдоскоп" не вживається. Натомість кажуть "дискретна група, породжена відображеннями".

. Вивчення калейдоскопів самих собою становить яскраву сторінку геометрії.