Кінцева геометрія

Кінцева геометрія- це будь-яка геометрична система, що має кінцеву кількість точок. Наприклад, евклідова геометрія не є кінцевою, тому що евклідова пряма містить необмежену кількість точок, а точніше кажучи, містить рівно стільки точок, скільки існує дійсних чисел. Кінцева геометрія може мати будь-яке кінцеве число вимірів.

Кінцеві геометрії можуть описуватись лінійною алгеброю, як векторні простори та подібні структури над кінцевим полем, які називаються геометріями Галуа, або можуть описуватись повністю комбінаторно. Багато, але не всі, кінцеві геометрії є геометріями Галуа, — наприклад, будь-який проективний простір розмірністю три або більше є ізоморфним проективним простором над кінцевим полем (проективізації векторного простору над кінцевим полем), і в цьому випадку відмінностей немає, але в розмірності дві існують проективні площини, які не є ізоморфними проективними просторами над кінцевими полями. Вони є недезаргові площини. Таким чином, у розмірності дві відмінності є.

Зміст

Наступні зауваження стосуються лише кінцевих площин.

Існують два види геометрії на площині: афінна та проективна. В афінній геометрії використовується нормальне поняття паралельності прямих. У проективній геометрії навпаки будь-які дві прямі перетинаються в єдино можливій точці, і тому паралельних прямих не існує. Як кінцева геометрія афінна на площині, так і кінцева проективна геометрія на площині можуть бути описані досить простими аксіомами. Афінна геометрія на площині - це непорожня множина X (елементи якого називаються «точками»), з непустим набором L підмножин X (елементи якого називаються «пряма»),таких, що:

Остання аксіома забезпечує, що геометрія не порожня, тоді як дві описують її природу.

Найпростіша афінна площина містить лише 4 точки, і називаєтьсяафінною площиною другого порядку. Кожна пара точок визначає унікальну пряму, тому вказана площина містить 6 прямих. Це аналогічно тетраедру, у якого ребра, що не перетинаються, розглядаються як «паралельні», або квадрату, у якого паралельними вважаються не тільки протилежні сторони, але і діагоналі також розглядаються як паралельні.

  1. Для будь-яких двох різних точок існує лише одна пряма, яка містить ці точки.
  2. Перетин двох різних прямих містить рівно одну точку.
  3. Існує безліч із чотирьох точок, ніякі три з яких не належать до однієї прямої.

Розгляд перших двох аксіом показує, що майже ідентичні, хіба що ролі точок і прямих змінилися. Це підказує принцип двоїстості проективної геометрії на площині, тобто вважатимуться, що вірне твердження залишається вірним, якщо замінити точки прямими, а прямі точками.

Оскільки третя аксіома вимагає існування як мінімум чотирьох точок, площина повинна містити щонайменше 7 точок, щоб задовольнити умови перших двох аксіом. У цій простій із проективних площин є також 7 прямих; кожна точка належить трьом прямим, кожна пряма містить три точки. Таку проектну площину часто називають "площиною Фано". Якщо якусь з ліній видалити з площини разом з точками, що належать їй, то в результаті отримаємо афінну площину другого порядку. Тому площина Фано називається проективною площиною другого порядку.

Перестановка семи точокплощині Фано, яка переносить колінеарні (такі, що лежать на одній прямій) точки в колінеарні точки називається "симетрією" площини. Повна група симетрії має порядок 168 та ізоморфна групі PSL(2,7) = PSL(3,2), та загальної лінійної групи GL(3,2).

Порядки площин

Кінцева площинапорядкуn- це така площина, кожна пряма якої маєnточок (для афінної площини), або кожна пряма якої має n + 1 точку (для проектної площини). Для кінцевої геометрії залишається відкритим наступне питання:

Чи завжди порядок кінцевої площини є ступенем простого числа?

Гіпотетично передбачається, що відповідь на це запитання ствердна, проте це залишається недоведеною.

Найкращим загальним результатом є теорема Брука-Райзера (англ.) українців. від 1949 року, яка стверджує:

Зауважимо, що в силу теореми Ферма-Ейлера ступінь простого числа не може задовольняти вимоги теореми Брука-Райзера. Найменше ціле, яке не є ступенем простого числа, і не відповідає вимогам теореми Брука — Райзера — це 10. Число 10 має форму 4 k + 2 але дорівнює сумі квадратів 1 2 + 3 2 +3^> . Неіснування кінцевої площини 10 було доведено за допомогою комп'ютера в 1989 році.

Наступне найменше число, яке може бути порядку кінцевої площині, — це 12, припущення якого ще доведено, а й спростовано.