Класична логіка висловлювань
3.1.1 Алфавіт логіки висловлювань
Найпростіша логічна теорія -класична логіка висловлювань. Вона передбачає абстрагування від змістів простих висловлювань, від своїх внутрішньої структури, а враховує лише те, з допомогою яких зв'язок й у порядку прості висловлювання зчленовуються складні.
Логіка висловлювань(пропозиційна логіка) – це логічна теорія, формалізована мова якої містить один тип нелогічних термінів – пропозиційні змінні, а також один тип логічних термінів – пропозиційні зв'язки.
Законами класичної логіки висловлювань будуть форми таких висловлювань, логічна істинність яких обумовлена логічними властивостями їх пропозиційних зв'язок. Правильними, з погляду пропозициональной логіки, є умовиводи, у яких наявність логічного проходження між посилками і висновком зумовлено тими самими чинниками.
Мова класичної логіки висловлювань не обов'язково повинна містити всі істинно-функціональні зв'язки. Якщо деякий набір істинно-функціональних зв'язок дозволяє виразити будь-яку функцію істинності, такий набір єфункціонально повним. Однією з функціонально повних систем є безліч функцій, представлених зв'язками Ø, É, ˅ та ˄.
Іноді до алфавіту логіки висловлювань включають логічні знаки – « » (константа істинності) і « » (константа хибності). Таким висловлюванням відповідають вирази, всі змінні яких фіктивні. Тому ці символи відносяться донульмісних зв'язків пропозиції.
Алфавіт пропозиційної логіки складається знелогічнихталогічних термінів,а такожтехнічнихсимволів. Безлічнелогічнихсимволівскладає безлічпропозиційних змінних Ці символи використовуються як параметри простих висловлювань при виявленні логічних форм контекстів природної мови.Логічнимисимволами даної мови єістиннісно-істиннісні пропозиційні зв'язки. Система функцій істинності має бутифункціонально повною. Вихідними логічними символами є: Ø (як аналог цього знака часто використовується просто риса над виразом), É, ˅ і ˄.Технічними символамиє ліва та права круглі дужки.
Формули логіки висловлювань. У мові пропозиціональної логіки є лише один вид правильно побудованих виразів -формули. Рекурсивне визначення формули свідчить:
1. Будь-яка пропозиційна змінна, константа істинності і константа хибності є формулою (такі формули називаються елементарними).
2. ЯкщоА– формула, тоØАтакож є формулою (такі формули є складними).
3. ЯкщоАіВ– формули, то вирази(А ˄В ),(А ÚВ ),(А ЕВ )також є формулами (дані формули також є складними).
4. Ніщо інше не є формулою.
Формула, що входить до складу деякої формули, називається її підформулою. У складній формулі завжди можна виділити зв'язку, яка називається їїголовним знаком.
При перекладі висловлювань природної мови мовою пропозициональной логіки передусім необхідно виділити прості судження, які входять до складу складного. Кожному простому висловлюванню зіставляється пропозиційна змінна ( ). Далі необхідно з'ясувати, який сенс у цьомувисловлювання висловлює кожен логічний термін. Нарешті, встановлюється порядок і спосіб зчленування простих висловлювань складне за допомогою логічних термінів.
У контекстах природної мови прості висловлювання можуть з'єднуватися за допомогою таких логічних спілок, яким не відповідає жодна пропозиційна зв'язка з алфавіту формалізованої мови. У цьому випадку складне висловлюванняпереформулюєтьсятаким чином, щоб воно містило те саме твердження, але включало при цьому тільки ті спілки, яким відповідають за змістом будь-які зв'язки з алфавіту.
Наведемо приклад: «Ні студенти першого курсу, ні студенти другого курсу іспит з логіки не склали». може бути записано як . Однак вона може бути виражена за допомогою основних зв'язок:
,
т. е. зв'язка Ніко рівнозначна визначення кон'юнкції заперечень. Отже, наведене вище висловлювання можна записати так: «Неправильно, що студенти першого курсу склали іспит з логіки, і неправильно, що студенти другого курсу склали іспит з логіки».