Класифікація сплайнів - Сплайнове моделювання
Як зазначалося вище, існує багато конструкцій, які називають сплайнами. Тому необхідно внести певну класифікацію в це різноманіття, маючи на меті виділити ті ознаки, які дозволять вибрати сплайни, придатні для конкретного прикладного завдання.
Призначення сплайнів. За призначенням можна виділити три основні групи сплайнів: «інтерполяційні сплайни» або «функціональні сплайни» - які проходять через задані точки, «згладжують сплайни» - проходять через задані точки з урахуванням похибок їх визначення; "кореляційні сплайни" - проходять через кореляційне безліч точок і відображають його генеральну залежність (тренд, регресію). Інтерполяційні та функціональні сплайни використовують у задачах геометричного моделювання, наприклад, завдання обводів корпусів водних та повітряних суден. Сплайни, що згладжують, використовують найчастіше для опису залежностей фізичних експериментів з відомою похибкою вимірювань. Кореляційні сплайни використовують як нелінійні графіки регресії, найпростішими з яких можна вважати опис залежності ступінчастої і шматково-лінійної функцією (сплайнами нульового і першого ступеня).
Вигляд фрагментів сплайну. Те, що сплайн складається з фрагментів однакового вигляду, є одним із ключових ознак, що відрізняє його від інших кускових функцій. Однак існують комбіновані сплайни, що складаються із фрагментів різних сплайнів.
Найвідоміші сплайни - складаються з фрагментів - алгебраїчних поліномів не вище заданого ступеня. Як правило, це кубічні поліноми, або поліноми непарних ступенів: першого, третього (кубічний), п'ятого ступеня. Вищі ступеня застосовують рідко через ускладнення розрахунків та складнощів, описаних у попередньому розділі. Основнимїх перевагою є простота розрахунків та аналізу. Недоліком є те, що щодо мало реальних фізичних процесів відповідають цій залежності.
Експонентні сплайни. Якщо гнучку металеву лінійку, зафіксовану у вузлах, натягнути, то рішенням диференціального рівняння буде не полігон алгебри, а експонента. Тому такі сплайн називають також напруженими. Експонента описує багато фізичних процесів у динамічних системах. Недоліком є трудомісткість розрахунку.
За механічною аналогією з металевою лінійкою, що представляє собою розрахункову модель балки, виходять сплайни змінної жорсткості, описані в роботах Снігірьова В. Ф. і Павленко А. П. Спочатку такі сплайни називали вироджуються або логарифмічними, так як рішення вихідного сплайнового диференціального рівня фрагмент сплайну, міститиме натуральні логарифмічні функції. Жорсткість в них може виступати як вагова, якщо вона заздалегідь задана, так і як функція, що управляє, яка відшукується з умов мінімуму функціоналу енергії оператора вихідного сплайнового рівняння, аналогічного повної потенційної енергії деформації лінійки (балки). Функція жорсткості дозволяє керувати формою сплайн. У випадку, коли функція жорсткості є функцією управління, то такі сплайни називають сплайнами мінімальної жорсткості.
Тригонометричними є сплайни, фрагменти яких описуються тригонометричними поліномами. Мають досить складні розрахункові вирази. Понад п'ятдесят різних за видом фрагментів сплайнів описані в роботах Б.А. Попова.
Також існують раціональні сплайни та сплайни Паде. Їх особливістю є можливість розриву похідних на фрагментах, при безперервностівузлах. М. Ансерме будує фракційні сплайни, де фрагменти задані за допомогою гамма-функції.
Доцільність застосування фрагментів певного виду заснована на конкретних умовах завдання та обмеження реалізації. Як правило, основна вимога - це досягнення заданої точності інтерполяції при прийнятних витратах часу та ресурсів на реалізацію. Вдалий вибір фрагментів, що відповідає характеру процесу, дозволяє скоротити час обчислень та необхідний обсяг пам'яті.
Число фрагментів. Очевидно, що мінімальна кількість фрагментів – один. Класичне визначення сплайну обмежує число фрагментів певним числом кінцевому відрізку. Однак можна будувати сплайни і з нескінченним числом фрагментів, а реально ці методи та алгоритми, які не потребують інформації про певну кількість фрагментів. Представниками цих сплайн є кардинальні сплайни, досліджені Шенбергом. Для побудови сплайнів з необмеженою кількістю фрагментів краще підходять локальні сплайни.
Ширина фрагментів. Слід виділити сплайн з рівною шириною фрагментів. Це дозволяє значно спростити розрахункові вирази, прискорити роботу алгоритмів та знизити витрати на реалізацію. Певного спрощення можна досягти рахунок застосування фрагментів з кратної шириною. Існують сплайни з нульовою шириною фрагментів (Де Бур). Це призводить до кратності вузлів та можливості наближати сплайни з нерозривними фрагментами розривних функцій. Розрахункові висловлювання набувають у результаті граничних переходів. Сплайни можуть мати фрагменти з нескінченною шириною. Ці фрагменти мають бути крайніми. Іноді це дозволяє природно поставити крайові умови. Строго кажучи, ширина фрагментів залежить від вибору параметра аргументу сплайн-функції, а для цьогопотрібно вирішувати окреме завдання параметризації. Ідеальним вибором в якості параметра є довжина функції, що інтерполюється, яка не завжди відома, тому існує безліч способів вирішення цього завдання. Найбільш поширений спосіб параметризації по хорд.
Умови стикування фрагментів. Ще одна важлива ознака, що відрізняє сплайн. Коли йдеться про сплайни, зазвичай вважають, що фрагменти стикуються гладко. Тобто забезпечується безперервність значень та першої похідної. Поняття дефекту сплайна пов'язане з числом безперервних похідних, які мають функцію-фрагмент певного виду та число похідних, безперервність яких гарантована у вузлах. Експонента, синусоїда мають нескінченну кількість похідних. Їх це поняття немає сенсу. Тому зручніше говорити прямо про кількість похідних, безперервність яких гарантована у вузлах сплайну. Практично йдеться про безперервність значень та першої, максимум другої похідної. Розрив другої та вищих похідних візуально не помітно, тому враховується рідко. Зрозуміло, що похідна в точках стику може задаватися по-різному. Найбільш поширені два прийоми. Значення першої похідної вибирається так, щоб забезпечити безперервність другої (глобальні кубічні сплайн мінімального дефекту). Перша похідна дорівнює першій похідній функції, що інтерполюється (можливо приблизно) в ермітових сплайнах.
Крайові умови. Є 4 типи класичних крайових умов та ряд некласичних. Якщо сплайни мають обмежену кількість фрагментів, то, природно, у них відсутні крайні фрагменти зліва і справа, тому крайні вузли нема з чим стикувати. Винятком є лише періодичні сплайни, які мають природне продовження (3 тип класичних крайових.умов). Іноді природними називають крайові умови з нульовою похідною, хоча жодних підстав вважати їх природнішими, ніж інші, немає, але для кубічного сплайну природні (натуральні) крайові умови є окремим випадком 2-го типу класичних крайових умов, що задає другі похідні на краях сплайну. У цьому випадку прирівнювання других похідних до нуля вивільняє краї металевої лінійки від навантаження згинальним моментом, що природним чином і відбувалося б при прикладанні її до фіксованих (заданих) вузлів у фізичному просторі. У 1-му типі класичних крайових умов задають перші похідні (дотичні) на краях сплайну; у 2-му типі - задають другі похідні (кривизну); 3-й тип використовується для інтерполяції замкнутих або періодичних ліній і полягає у стиковці крайніх фрагментів сплайну; 4-й тип використовується коли на краях сплайну невідомі ні перша, ні друга похідні і полягає в стикуванні сусідніх пар крайніх фрагментів (1-го з 2-м і останнього з передостаннім) по третіх похідних, що на практиці реалізується у проведенні по вузлах пар сусідніх крайніх фрагментів функції, аналогічної одному фрагменту сплайну (у поліноміального сплайну - полінома так само, як і фрагмент сплайну). Використовуються різні комбінації крайових умов, які зводяться до даних 4-х типів класичних умов. У разі, якщо крайові умови не можна звести до цих чотирьох типів, як, наприклад, зміна на парі сусідніх крайніх фрагментах сплайну його третьої похідної за лінійним (афінним) законом, запропонована в роботах Снігірьова В.Ф., такі умови називають некласичним варіантом крайових умов. Далі наведено деякі варіанти, що зводяться до класичних умов. Якщо сплайн має фрагментиоднакової ширини, вважають відсутні фрагменти тієї ж ширини. Інший варіант - це вважати відсутні фрагменти продовженими в нескінченність. Перевага такого підходу у можливості екстраполяції. Можна вважати ширину фрагментів нульової. Розрахункові вирази одержують граничними переходами. Якщо глянути крайові умови з погляду формування сплайна з базисних функцій, всі вони зводяться до продовження відповідних локальних базисних функций. Ширина сусідніх фрагментів впливає їх форму. А просте обрізання часто призводить до осциляції та зростання похибки на краях. Важливе значення крайові умови мають при обробці зображень та задачах з екстраполяцією.
Додаткові обмеження. Вони найчастіше стосуються похідних у вузлах. Іноді вони випливають із фізики процесу. Умови: невід'ємність значень, рівність моментів, площ, умови нормування. Додаткові умови іноді спрощують аналіз властивостей сплайнів, але можуть серйозно ускладнювати побудову та витрати реалізації.
Сітка точок інтерполяції. Може суттєво впливати на ефективність розрахунків. Важливими є випадки рівномірної сітки та рівномірної сітки, з відстанню між точками, кратною відстані між вузлами сплайну. Знаходження сітки точок інтерполяції (інтерполяційних вузлів) є завданням параметризації, яку вже сказано у розділі «Ширина фрагментів».
Локальні характеристики базових функцій. Сплайн можна подати як суму зважених базисних сплайнів. Істотним є ширина цих базових функцій. Так, у світових сплайнах базові сплайни ненульові на всьому відрізку інтерполяції. Хоча варто зауважити, що з певною точністю (достатньою для багатьох технічних розрахунків) їх можна вважати локальними. У локальних сплайнів ширина базисних функцій невелика (чотирифрагмента у кубічних ермітових сплайнів). Це суттєво впливає на ефективність розрахунків та витрати реалізації.
Форма уявлення. Функції, що задають фрагменти сплайну, зазвичай залежать від безлічі параметрів, завдяки яким вони змінюють свою форму. Значення параметрів кожному з фрагментів індивідуальні. Ці параметри можуть задавати певний сплайн. Для поліноміальних сплайн це поліноміальні коефіцієнти. Так, сплайн можна уявити безліччю параметрів функцій кожному з фрагментів. Назвемо це уявлення пофрагментним. Таке уявлення є наочним, часто має явний фізичний зміст. Але кількість параметрів є надмірною. Так, для кубічного сплайну необхідно мати 4*(r-1) параметрів (r – число вузлів сплайну). Дане уявлення виходить в результаті невизначеного інтегрування фрагмента вихідного сплайнового диференціального рівняння і називається аналогічною шматково-поліноміальною формою (pp-формою) за аналогією з поліноміальними сплайнами. Для явного вираження коефіцієнтів через вже відомі значення координат вузлових точок застосовують розкладання аналогічної шматково-поліноміальної форми на базисні функції шляхом підстановки її в крайові умови Ерміта (граничні умови фрагмента сплайну, умови інтерполювання та спирання на похідні). В результаті виходить базисна форма (B-форма) сплайн. Таке уявлення сплайна є значно компактнішим і записується через базисні сплайн-функції у вигляді:
де - базисні сплайн-функції (як правило локальні), - числові коефіцієнти, що задають вагу базисних функцій при формуванні сплайну, фізичним змістом яких є узагальнені (лінійні та кутові) переміщення металевої лінійки у вузлах. Число параметрів, що задають сплайн, дорівнюєчислу вузлів сплайну. Між параметрами функції на фрагменті і коефіцієнтами полінома-сплайн існує залежність, що дозволяє з одними коефіцієнтами знаходити інші, хоча формули можуть мати досить складний вигляд.
Перетворення аналогічної шматково-поліноміальної форми подання сплайну в базисну форму знижує порядок системи лінійних рівнянь алгебри для знаходження невідомих коефіцієнтів сплайну, так як вони частково виражаються через вже відомі параметри - координати заданих точок (вузлів), що дозволяє значно знизити обчислювальні витрати за рахунок можливості застосувати економічні методи рішення, такі як метод прогонки алгебри або різновиду методу Гаусса для розріджених (стрічкових) матриць з вибором провідного елемента стовпця.
Коефіцієнти інтерполяційних і функціональних сплайн завжди містять значення координат заданих точок, що випливають з умов інтерполювання. А також залежно від умов спирання на похідні, містять значення відповідних похідних на межах фрагмента сплайну (у вузлових точках). Як правило, при записі таких умов фрагмент сплайну на його межах спирають на перші чи другі похідні. Опирання фрагмента сплайна на перші похідні явно відбиває фізичний зміст, оскільки перші похідні (дотичні) - це кутові переміщення (повороти) металевої лінійки щодо поперечної осі. Спирання сплайну на другі похідні застосовують для спрощення виду розрахункових виразів з метою зменшення помилок при їх ручному перезаписі, однак у деяких випадках використання таких виразів у будь-яких додаткових умовах може призводити до тривіальних рішень.
Особливі сплайни. У ряді випадків розглядають функції, що знаходяться близько до кордонуміж сплайнами та звичайними функціями, а також сплайнами та кусковими функціями. Наприклад, це сплайни, які з двох фрагментів. Мають спрощений варіант побудови, але особливу увагу слід приділяти крайовим умовам.
До спеціальних сплайнів можна віднести багатовимірний ортогональний нормований сплайн, що описує нелінійну модель штучного нейрона (сплайн-модель Хакімова), що використовується для моделювання залежності функції від сукупності безлічі аргументів.