Комплексні числа

Комплексні [1] числа, - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сумаx+iy, деxтаy- речові числа,i- Уявна одиниця [2] .

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле - це означає, що багаточлен ступеняnз комплексними коефіцієнтами має рівноnкомплексного коріння (основна теорема алгебри). Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел у математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно та компактно сформулювати багато математичних моделей, що застосовуються в математичній фізиці та в природничих науках — електротехніці, гідродинаміці, картографії, квантовій механіці, теорії коливань та багатьох інших.

1. Визначення

Поле комплексних чисел можна як розширення поля речових чисел, у якому многочленz2 + 1 має корінь. Наступні дві елементарні моделі показують, що несуперечлива побудова такої системи чисел можлива. Обидва наведені визначення призводять до ізоморфних розширень поля речових чисел, як і будь-які інші конструкції поля розкладання многочленаz2 + 1 .

1.1. Стандартна модель

Комплексне числоzможна визначити як упорядковану пару дійсних чисел (x,y). Введемо операції складання та множення таких пар наступним чином:

Речові числа є в цій моделі підмножиною безлічі комплексних чисел і представлені парами виду, причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль представляється парою одиниця - а уявна одиниця - На множинікомплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на безлічі речових, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює , тобто − 1.

Неважко показати, що певні вище операції мають самі властивості, як і аналогічні операції з речовими числами. Винятком є ​​лише властивості, пов'язані з ставленням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа так, щоб операції, як і раніше, були узгоджені з порядком, неможливо.

1.2. Матрична модель

Комплексні числа можна також визначити як сімейство речових матриць виду

із звичайним матричним додаванням та множенням. Дійсна одиниця відповідатиме

1.3. Зауваження

Помилкове визначення числаiяк однини, що задовольняє рівнянняx2 = − 1 , оскільки число ( −i) також задовольняє цього рівняння.

Слід також помітити, що вираз, що раніше часто використовувався замістьi, не цілком коректний, оскільки алгебраїчний корінь визначається над безліччю невід'ємних чисел. Аж до XIX століття включно запис начебто вважався допустимим, але в даний час, щоб уникнути помилок, прийнято записувати цей вираз як . Приклад можливої ​​помилки при необережному використанні застарілого запису:

у той час як правильна відповідь:

2. Дії над комплексними числами

  • Порівнянняa+bi=c+diозначає, щоa=cіb=d(два комплексні числа рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини).
  • Додавання (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
  • Віднімання (a+bi) − (c+di) = (a− ​​c) + (b− ​​d)i.
  • множення
  • Поділ

3. Геометрична модель

Розглянемо площину із прямокутною системою координат. Кожному комплексному числу можна порівняти точку площини з координатами x,y> (А також радіус-вектор, що з'єднує початок координат з цією точкою). Така площина називається комплексною. Речові числа у ньому займають горизонтальну вісь, уявна одиниця зображується одиницею на вертикальної осі; з цієї причини горизонтальна і вертикальна осі називаються відповідноречовинноїіуявноїосями.

Часто буває зручно розглядати на комплексній площині також полярну систему координат, у якій координатами точки є відстань до початку координат (модуль) та кут радіус-вектора точки (показаного синьою стрілкою на малюнку) з горизонтальною віссю () аргумент (6)). Докладніше див. нижче.

У цьому наочному поданні сума комплексних чисел відповідає векторній сумі відповідних радіус-векторів. При перемноженні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Якщо модуль другого співмножника дорівнює 1, то множення на нього геометрично означає поворот радіус-вектора першого числа на кут, що дорівнює аргументу другого числа. Цей факт пояснює широке використання комплексного уявлення теоретично коливань, де замість термінів «модуль» і «аргумент» використовуються терміни «амплітуда» і «фаза».

4. Пов'язані визначення

Нехай - комплексне число, де і - речові числа. Числа або і або називаються відповідноречовинноїіуявної(аналогічно англ.real, imaginary) частинамиz.

  • Якщоx= 0 , тоzназиваєтьсяуявнимабочисто уявнимчислом.
  • Якщоy= 0, тоzє дійсним (речовим) числом.

4.1. Модуль та аргумент

Модулем (абсолютною величиною) комплексного числа називається довжина радіус-вектора відповідної точки комплексної площини (або, що те саме, відстань між точкою комплексної площини, що відповідає цьому числу, та початком координат).

Модуль комплексного числаzпозначаєтьсяzі визначається виразом. Часто позначається літерами або . Якщоzє речовим числом, тоzзбігається з абсолютною величиною цього речового числа.

Для будь-яких мають місце такі властивості модуля. :

1), причому тоді і тільки тоді, коли;; 2) (нерівність трикутника); 3); 4).

З третьої якості випливає, де. Дана властивість модуля разом із першими двома властивостями вводять на безлічі комплексних чисел структуру двовимірного нормованого простору над полем.

5) Для пари комплексних чиселz1 таz2 модуль їх різниціz1 −z2 дорівнює відстані між відповідними точками комплексної площини .

Кут (у радіанах) радіус-вектора точки, що відповідає числуz, називаєтьсяаргументомчислаzі позначається .

  • З цього визначення випливає, що ; ; .
  • Для комплексного нуля значення аргументу не визначено, для ненульового числаzаргумент визначається з точністю до 2kπ, деk- будь-яке ціле число.
  • Головним значенням аргументу називається таке значення, що. Часто головне значення позначається [3]. Головне значення аргументу зворотного числа відрізняється знаком відаргументу вихідного: .

4.2. Сполучені числа

Якщо комплексне числоz=x+iy, то число називаєтьсяпов'язаним(або комплексно пов'язаним) доz(позначається такожz*). На комплексній площині сполучені числа виходять дзеркальним відображенням одне одного щодо речової осі. Модуль сполученого числа такий самий, як у вихідного, а їх аргументи відрізняються знаком.

Перехід до сполученого числа можна як одномісну операцію; Перелічимо її властивості.

  • (сполучене до сполученого є вихідне).

Узагальнення: деp(z) - довільний многочлен з речовими коефіцієнтами.

5. Подання комплексних чисел

5.1. Алгебраїчна форма

Запис комплексного числаzу виглядіx+iy, , називаєтьсяалгебраїчною формоюкомплексного числа.

Сума та добуток комплексних чисел можуть бути обчислені безпосереднім підсумовуванням та перемноженням таких виразів, як зазвичай розкриваючи дужки та наводячи подібні, щоб представити результат також у стандартній формі (при цьому треба врахувати, щоi2 = − 1 ):

5.2. Тригонометрична та показова форми

Якщо речовуxі уявнуyчастини комплексного числа виразити через модульr=zі аргумент ( , ), то всяке комплексне числоz, крім нуля, можна записати втригонометричній формі

Також може бути кориснапоказоваформа запису комплексних чисел, тісно пов'язана з тригонометричною через формулу Ейлера:

де розширення експоненти для випадку комплексного показника ступеня.

Звідси випливають такі широко використовувані рівності:

5.3. Формула Муавра та вилучення коренів із комплексних чисел

Ця формула дозволяє зводити цілу ступінь ненульове комплексне число, представлене в тригонометричній формі. Формула Муавра має вигляд:

Аналогічна формула застосовна також і при обчисленні коренівn-ого ступеня з ненульового комплексного числа:

1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1." src="http://wreferat.baza-referat.ru/2_934408074-677.wpic" />

Зазначимо, що корінняn-го ступеня з ненульового комплексного числа завжди існують, і їх кількість дорівнюєn. На комплексній площині, як видно з формули, все це коріння є вершинами правильногоn-кутника, вписаного в коло радіуса з центром на початку координат (див. рисунок).

Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці «Велике мистецтво, або про правила алгебри» Кардано (1545), який вважав їх непридатними до вживання. Користь уявних величин, зокрема, при розв'язанні кубічного рівняння, у так званому ненаведеному випадку (коли речові корені багаточлена виражаються через кубічні корені з уявних величин), вперше оцінив Бомбеллі (1572). Він же дав деякі найпростіші правила дій із комплексними числами.

Вирази виду, що з'являються при розв'язанні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» у XVI—XVII століттях, проте навіть для багатьох великих вчених XVII століття алгебраїчна та геометрична сутність уявних величин була неясною. Лейбніц, наприклад, писав: «Дух божий знайшов найтоншу віддушину в цьому диві аналізу, на кшталт світу ідей, двоїстої сутності, що знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з негативної одиниці». [4]

Довгий час було неясно, чи всі операції надкомплексними числами призводять до комплексних результатів, або, наприклад, вилучення кореня може призвести до відкриття нового типу чисел. Завдання про вираження коренів ступеняnз цього числа було вирішено у роботах Муавра (1707) і Котса (1722).

Символ запропонував Ейлер (1777, опубл. 1794), який узяв для цього першу букву слова лат.imaginarius. Він поширив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область. Ейлер також висловив у 1751 році думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. Такого ж висновку дійшов Д'Аламбер (1747), але перший суворий доказ цього факту належить Гаусс (1799). Гаус і ввів у широке вживання термін «комплексне число» у 1831 році, хоча цей термін раніше використовував у тому ж сенсі французький математик Лазар Карно у 1803 році.

Арифметична модель комплексних чисел як пар дійсних чисел була побудована Гамільтон (1837); це довело несуперечність їх властивостей. Гамільтон запропонував і узагальнення комплексних чисел – кватерніони, алгебра яких некомутативна.