Концепція площі
Припустимо, ми намалювали квадрат зі стороною 1 дюйм. Такий квадрат можна назвати квадратним дюймом і використовувати його як одиниця площі.
Тепер намалюємо квадрат із стороною 2 дюйми, потім розділимо кожну сторону навпіл і розділимо квадрат на чотири частини. Кожна частина буде 1 квадратний дюйм. Виконаємо таку ж операцію з квадратом зі стороною 3 дюйми, але цього разу кожну сторону розділимо на три частини. В результаті, ми отримаємо 9 квадратів площею 1 квадратний дюйм кожен.
Потім таку ж операцію зробимо з прямокутником довжиною 9 дюймів та шириною 6 дюймів. Після розподілу ми отримаємо 54 квадрати площею по 1 квадратному дюйму. Всі ці дії показані малюнку.
У кожному випадку квадрати по 1 квадратному дюйму розташовані у горизонтальних рядах та вертикальних стовпцях.
Кількість квадратів у стовпці відповідає довжині квадрата або прямокутника в дюймах, а кількість квадратів у ряду – ширині квадрата або прямокутника в дюймах.
У квадраті площею 2 квадратні дюйми в кожному з двох стовпців – по два однодюймові квадрати, 2+2=4. У тридюймовому квадраті три стовпчики, що містять по три однодюймові квадрати, 3+3+3=9. У прямокутнику 6×9 мм у кожному із 6 стовпців міститься по 9 однодюймових квадратів, 9+9+9+9+9+9=54. Можна прорахувати прямокутник рядками. У кожному з 9 рядків міститься по 6 однодюймових квадратів, 6+6+6+6+6+6+6+6+6=54.
У загальному вигляді процедура обчислення площа геометричних фігур полягає в повторному додаванні. У разі квадратів та прямокутників такі обчислення гранично прості. У разі трикутників та кіл – дещо складніше. У разі площ неправильної форми це досить складна процедура. Однак площі вміли обчислюватище в давніх сільськогосподарських цивілізаціях (не зараз обговорюватимемо нашу високотехнологічну цивілізацію). Вже в давнину проводили обміри земельних ділянок і обчислювали їх площі, як мінімум, для того, щоб визначити суму податку з ділянки. Цілком можливо, що в давнину саме необхідність розрахунку оподаткування, а не щось інше, сприяла інтенсивному розвитку арифметики.
Якщо необхідність повторного рахунку сприяла створеннюоперації складання, необхідність повторного складання призвела до виникнення нового виду операцій із числами.
Почнемо з того, що приймемо нове позначення і запишемо вираз «шість разів по дев'ять» як 6×9. Значок «х» називаєтьсязнаком множення. Такий запис означає, що складають дев'ять разів по шість або шість разів по дев'ять. Як вже здалося на попередньому прикладі і як ви можете переконатися самостійно, прорахувавши свій власний приклад, неважливо, яку з двох операцій ви зробите: 6х9 = 9х6.
Використовуючи це нове спостереження, ми можемо сформулювати загальне правило обчислення площі квадрата чи прямокутника. Площа цих фігур дорівнює добутку довжини на ширину. Наступний необхідний крок - знайти простий спосіб здійснення операцій множення . Звичайно, ми завжди можемо скористатися повторним додаванням, але такий спосіб незручний і у разі великих чисел неефективний.
Скажімо, треба обчислити площу прямокутної ділянки розміром 129 футів на 54 фути. Нам доведеться перемножити 129 на 54 або 54 на 129, щоб отримати відповідь (у даному випадку вже в квадратних футах, а не в квадратних дюймах). Це означає, що нам або треба підсумувати сто двадцять дев'ять разів число 54, або, навпаки, п'ятдесят чотири рази підсумувати число 129. І те й іншедосить втомлює.
Або інший приклад: цього разу торговельна угода. Припустимо, нам треба сплатити 254 дюжини якихось предметів, які коштують по 72 центи за дюжину. У цьому випадку нам доведеться помножити 254 на 72, тобто двісті п'ятдесят чотири рази підсумувати число 72. Такі завдання доводиться постійно вирішувати в повсякденному житті, тому нам необхідна проста і ефективна процедура множення.