Контрольна робота Теорія ймовірності
з дисципліни: Теорія ймовірностей
Контрольна робота №1
З 10 виробів, серед яких 4 браковані, отримують 3. Знайти ймовірність того, що серед них одне браковане.
ЧислоNвсіх рівноймовірних результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна з 10 деталей вийняти три, тобто. числу поєднань з 10 елементів по 3:
За умовою завдання з трьох виробів одне браковане, а два придатні. Таким чиномmA:
Знайдемо ймовірність події, при якій із 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою:
Відповідь:ймовірність події, при якій з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою дорівнює 0,5
Відомі ймовірності незалежних подійА, ВтаС:
Р(А) = 0,5; Р(В) = 0,4; Р(С) = 0,6.
Визначити ймовірність того, що а) відбудеться принаймні одна з цих подій; б) відбудеться не більше 2 подій.
а) Для того, щоб знайти ймовірність того, що відбудеться хоча б 1 подія, знайдемо ймовірність того, що жодна подія не відбудеться (позначимо цю ймовірністьP0). Оскільки події незалежні за умовою, ймовірністьP0 дорівнює добутку ймовірностей того, що не станеться кожна окрема подія.
Таким чином, ймовірність того, що не станеться:
подіяА: А0= 1 - 0,5 = 0,5
подіяВ: В0= 1 - 0,4 = 0,6
подіяС: С0= 1 - 0,6 - 0,4
Скористаємося правилом множення ймовірностей та отримаємо ймовірність того, що жодна подія не станеться:
Ситуація, за якої не станеться жодна подія, і ситуація, за якої станеться хоча б одна подія, утворюють повну систему подій. Сумаймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому ймовірністьPзадовольняє рівнянню:
б) Для того, щоб знайти ймовірність того, що відбудеться не більше 2 подій, знайдемо ймовірність того, що відбудуться всі три події, і позначимо якР1:
Ситуація, за якої відбудуться всі 3 події, та ситуація, за якої відбудеться не більше 2 подій (від 0 до 2), становлять повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому ймовірністьPзадовольняє рівнянню:
а) ймовірність того, що станеться принаймні одна подія, дорівнює 0,88
б) ймовірність того, що відбудеться не більше двох подій, дорівнює 0,88
Імовірність влучення в ціль: першого стрілка - 0,6; другого – 0,7; третього – 0,8. Знайти ймовірність хоча б одного влучення в ціль за одночасного пострілу всіх трьох.
Для того щоб знайти ймовірність попадання в ціль хоча б 1 стрілка, знайдемо ймовірність того, що жоден зі стрільців не потрапить у ціль (позначимо цю ймовірність через P 0). Оскільки попадання різних стрільців у ціль слід вважати незалежними подіями, ймовірністьP0 дорівнює добутку ймовірностей того, що промаже кожен із стрільців.
Подія, яка полягає в тому, що деякий стрілець потрапить у ціль, і подія, що полягає в тому, що він промаже, становлять повну систему подій. Сума ймовірностей двох цих подій дорівнює одиниці.
Таким чином, ймовірність того, що
А) промаже 1 стрілок дорівнює: 1 - 0,6 = 0,4
Б) промаже 2 стрілок дорівнює: 1 - 0,7 = 0,3
У) промаже 3 стрілок дорівнює: 1 - 0,8 = 0,2
Скористаємося правилом множення ймовірностей та отримаємо ймовірність того, що промажуть усі троє стрільців:
Подія, яка полягає в тому,що не потрапить у ціль жоден зі стрільців, і подія, яка полягає в тому, що потрапить хоча б один, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому ймовірністьPзадовольняє рівнянню:
Відповідь:ймовірність попадання в ціль хоча б одного стрільця при одночасному пострілі всіх трьох дорівнює 0,976 (або 97,6%)
Відомо, що 80% продукції є стандартним. Спрощений контроль визнає придатною стандартну продукцію з ймовірністю 0,9 та нестандартну з ймовірністю 0,3. Знайти ймовірність того, що визнаний придатним виріб є стандартним.
1) Знайдемо ймовірність того, що стандартна продукція буде визнана придатною:
Р1 = 0,8 * 0,9 = 0,72 (72% продукції)
2) Знайдемо ймовірність того, що нестандартна продукція буде визнана придатною:
Р2 = 0,2 * 0,3 = 0,06 (6% продукції)
3) Таким чином, спрощений контроль визнає придатним Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукції)
4) Знайдемо ймовірність того, що визнаний придатним виріб – стандартно:
Відповідь:ймовірність того, що визнаний придатним виріб - стандартно, дорівнює 0,656.
Є 4 радіолокатори. Ймовірність виявити мету для першого - 0,86; для другого – 0,9; для третього – 0,92; для четвертого – 0,95. Включено одну з них. Яка можливість виявити мету?
Позначимо через А подія - мета виявлена, а можливі події (гіпотези) виявлення мети 1-м, 2-м, 3-м або 4-м локаторами - через, відповідно, В1, В2, В3 і В4.
За умовою завдання включений один із чотирьох локаторів, отже, ймовірність виявлення мети:
Відповідні умовні ймовірності (за умовою завдання) виявлення мети дорівнюють:
Таким чином, згідно з формулою повної ймовірності, шукана ймовірністьвиявлення мети дорівнює:
Відповідь:ймовірність виявлення мети дорівнює 0,9075
Контрольна робота №2
Відома ймовірність події А:р (А)= 0,3. Дискретна випадкова величина x - число появАу трьох дослідах. Побудувати низку розподілу випадкової величини x; знайти її математичне очікуванняmxта дисперсіюDx .
1)Обчислимо ймовірностір (хi )за формулою Бернуллі:
де,р= 0,3;q= 1 -р= 0,7;n= 3;х= x.
Таким чином, отримаємо ряд розподілу випадкової величини x:
| Значення x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Імовірностір (хi) | 0,343 | 0,441 | 0,189 | 0,027 |
Графічно ряд розподілу випадкової величини x виглядає так:
2)Знайдемо математичне очікуванняmx:
Математичним очікуваннямmxдискретної випадкової величини називається сума парних творів всіх можливих значень випадкової величини відповідні їм ймовірності, тобто.
ДисперсієюDxдискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування, тобто:
Ряд розподілувипадкової величини x: