Координатна пряма
Стверджувати, що знаєте математику, неможливо, якщо ви вмієте будувати графіки, зображати нерівності на координатної прямої, працювати з осями координат. Візуальна складова в науці життєво необхідна, адже без наочних прикладів у формулах та обчисленнях часом можна заплутатися. У цій статті ми подивимося, як працювати з осями координат і навчимося будувати найпростіші графіки функцій.
Застосування
Координатна пряма – це основа найпростіших видів графіків, із якими стикається школяр своєму навчальному шляху. Вона використовується практично в кожній математичній темі: при розрахунку швидкості та часу, проектуванні розмірів об'єктів та обчисленні їх площі, у тригонометрії під час роботи з синусами та косинусами.
А про швидкість йдеться недарма – саме її найчастіше відображають графіки функції. А ще вони можуть відображати зміну температури або тиску всередині об'єкта, його розмірів, орієнтації щодо горизонту. Таким чином, побудувати координатну пряму часто потрібно і у фізиці.
Одновимірний графік
Існує поняття багатовимірності. В одновимірному просторі достатньо всього одного числа, щоб визначити місце розташування точки. Це якраз і є випадок із застосуванням координатної прямої. Якщо простір двомірний, то знадобиться два числа. Графіки такого типу використовуються набагато частіше, і далі в статті ми їх обов'язково розглянемо.
Зміна параметрів з часом побачити не вдасться, оскільки всі показання відображатимуться для одного конкретного моменту. Однак із чогось треба починати! Отже, почнемо.
Як побудувати координатну вісь
Для початкупотрібно провести горизонтальну лінію – це і буде наша вісь. З правого боку «загостримо» її, щоб вона була схожа на стрілку. Таким чином ми позначимо напрямок, у якому числа збільшуватимуться. У бік зменшення стрілка звичайно ставиться. Традиційно вісь спрямована вправо, тому ми просто підемо цьому правилу.
Через рівну відстань один від одного поставимо крапки або зарубки на лінії, а під ними напишемо відповідно 1,2,3 і так далі. І ось, все готове. Але з графіком, що вийшов, треба ще навчитися працювати.
Види точок на координатній прямій
З першого погляду на запропоновані у підручниках малюнки стає зрозумілим: крапки на осі можуть бути зафарбовані або не зафарбовані. Ви думаєте, це випадковість? Зовсім ні! «Суцільна» точка використовується при несуворій нерівності – тій, яка читається як «більше чи одно». Якщо ж потрібно строго обмежити інтервал (наприклад, «ікс» може набувати значень від нуля до одиниці, але не включає її), ми скористаємося «порожнистою» точкою, тобто, по суті, маленьким кружком на осі. Слід зауважити, що учні не дуже люблять суворі нерівності, бо з ними складніше працювати.
При побудові двох прямих координатної площині ми можемо розглядати графіки функций. Скажімо, горизонтальна лінія буде віссю часу, а вертикальна – відстанню. І ось уже ми можемо визначити, яку відстань подолає об'єкт за хвилину чи годину шляху. Таким чином, робота з площиною дозволяє стежити за зміною стану об'єкта. Це набагато цікавіше, ніж дослідження статичного стану.
Найпростіший графік такої площині – пряма, вона відбиває функцію Y(X) = aX + b. Лінія згинається? Це означає, що об'єкт змінює свої характеристики впроцесі дослідження.
Позначки на горизонтальній координатній прямій за замовчуванням отримують назву X1, X2, X3, а вертикальній – Y1, Y2, Y3 відповідно. Проеціруя їх на площину і знаходячи перетину, ми знаходимо фрагменти результуючого малюнка. Поєднавши їх однією лінією, ми отримаємо графік функції. У разі падіння каменю квадратична функція матиме вигляд: Y(X) = aX * X + bX + c.
Звичайно, не обов'язково виставляти поряд з поділами на прямі цілочисленні значення. Якщо ви розглядаєте рух равлика, який повзе зі швидкістю 0,03 метра в хвилину, виставте як значення на координатному прямому дробі. В даному випадку вкажіть ціну поділу як 0,01 метра.
Особливо зручно виконувати такі креслення у зошиті в клітку – тут одразу видно, чи вистачить місця на аркуші для вашого графіка, чи не вийдете за поля. Свої сили розрахувати нескладно, адже ширина клітини у такому зошиті – 0,5 сантиметра. Знадобилося – зменшили малюнок. Від зміни масштабу графіка не втратить і змінить своїх властивостей.
Координати точки та відрізка
Коли на уроці дається математичне завдання, в ній можуть бути параметри різних геометричних фігур як у вигляді довжин сторін, периметра, площі, так і у вигляді координат. І тут може знадобитися як побудувати фігуру, і отримати якісь дані, пов'язані з нею. Виникає питання: як знайти на координатній прямій потрібну інформацію? І як збудувати фігуру?
Пам'ятаєте, як збудувати відрізок? Ви проходили це геометрії. Якщо є дві точки, між ними можна провести пряму. Їх координати і вказуються в дужках, якщо в задачі фігурує відрізок. Наприклад: A(15, 13) – B(1, 4). Щоб збудувати таку пряму, потрібно на координатній площині знайтиі відзначити точки, а потім їх з'єднати. От і все!
А будь-які багатокутники, як знаєте, можна намалювати за допомогою відрізків. Завдання вирішено.
Припустимо, є певний об'єкт, положення якого по осі X характеризується двома числами: починається він у точці з координатою (-3) і закінчується (+2). Якщо ми хочемо дізнатися довжину цього предмета, то маємо відняти від більшого числа менше. Зверніть увагу, що негативне число поглинає знак віднімання, тому що мінус на мінус дає плюс. Отже, ми складаємо (2+3) та отримуємо 5. Це і є необхідний результат.
Негативні числа
Нерідко потрібно практично працювати з негативними значеннями. У цьому випадку ми йтимемо по осі координат вліво. Наприклад, об'єкт заввишки 3 сантиметри плаває у воді. На третину він занурений у рідину, на дві третини перебуває в повітрі. Тоді, обравши як осі поверхню води, ми з допомогою найпростіших арифметичних обчислень отримуємо два числа: верхня точка об'єкта має координату (+2), а нижня – (-1) сантиметр.
Неважко помітити, що у випадку з площиною у нас утворюється чотири чверті координатної прямої. Кожна має свій номер. У першій (верхній правій) частині розташовуватимуться точки, що мають дві позитивні координати, у другій – ліворуч зверху – значення по осі «ікс» будуть негативні, а по «гравець» – позитивні. Третя та четверта відраховуються далі проти годинникової стрілки.
Важлива властивість
Висновок
Пам'ятайте, що будь-які осі, фігури та по можливості графіки необхідно будувати за лінійкою. Одиниці вимірів були придумані людиною не випадково – припустившись похибки при кресленні, ви ризикуєте побачити вже не те зображення, яке мало вийти.
Будьте уважні таакуратні у побудові графіків та обчисленнях. Як і будь-яка наука, що вивчається у школі, математика любить точність. Прикладіть трохи старання, і хороші оцінки не забаряться.