Координатні лінії на поверхні еліпсоїда - Студопедія
Класифікація кривих на поверхні
ГЕОМЕТРІЯ ЗЕМНОГО ЕЛЛІПСОЇДУ
На будь-якій поверхні між двома точками можна провести безліч різних ліній, що володіють тими або іншими властивостями. Для вирішення геодезичних завдань на поверхні еліпсоїда нас будуть цікавити з цієї множини лише ті лінії, які пов'язані з вимірюваннями, редукованими на поверхню еліпсоїда з фізичної поверхні Землі, а також координатні лінії.
З огляду на це розглянемо такі лінії на поверхні земного еліпсоїда.
Плоскі перерізи - лінії, утворені як слід перетину поверхні деякою площиною. Залежно від того, як орієнтована площина перерізу щодо поверхні, розрізняють:нормальні перерізи в даній точці, якщо площина перерізу містить нормаль до поверхні в даній точці,центральні перерізи, коли площина містить у собі центр еліпсоїда, у разі завжди перетин буде нормальним в екваторіальних точках. Якщо нормальний переріз проходить в азимуті, що дорівнює 90 0 , його називаютьпершим вертикалом еліпсоїда в даній точці, радіус якого дорівнюєN,вираз якого наведено у формулі (3.16).
Геодезична лінія - найкоротша крива між двома точками на поверхні. Слід зауважити, що геодезичні лінії на будь-якій поверхні відіграють особливу роль (прямі на площині, дуги великих кіл на сфері та ін.). Геометрія геодезичних ліній характеризує геометрію поверхні та всі метричні завдання на поверхнях вирішують за допомогою рівнянь, що зв'язують елементи геодезичних ліній. Прикладом цього є формули плоскої та сферичної тригонометрії, що зв'язують лінійні такутові елементи геометричних фігур, утворених прямими лініями на площині та дугами великого кола у сфері. Слід зазначити, що на довільних поверхнях, взагалі кажучи, немає подібних формул у замкнутому вигляді в елементарних функціях, тут використовують диференціальні формули геодезичних ліній, інтегрування яких дозволяє вирішувати різні завдання. У таких випадках використовують методи диференціальної геометрії поверхонь.
При вирішенні геодезичних завдань лежить на поверхні земного еліпсоїда ми використовуватимемо методи диференціальної геометрії.
Для того, щоб краще зрозуміти ці методи, що застосовуються у сфероїдичній геодезії, згадаємо основні елементи кривих на поверхнях. Насамперед пригадаємо, що в диференціальній геометрії виділяютьрегулярні або гладкі криві і поверхні, що не мають особливих (розривних) точок і ліній. На таких лініях та поверхнях для поточної точки похідна безперервна та плавно змінює своє значення зі зміною координат. Такі криві та поверхні називають також диференційованими. Поверхня еліпсоїда регулярна і ми розглядатимемо геометрію регулярних кривих на цій поверхні.
Згадаймо основні визначення, які стосуються кривих на поверхнях. У кожній точці кривої можна провести три взаємно перпендикулярні площини і прямі (рис. 4. 1), що утворюють супровідний тригранник кривої:
-дотичну площинуК до поверхні тавектор дотичної до кривоїLу точці М, що мають одну загальну точку з поверхнею та кривою;
-нормальну площинуN, яка перпендикулярна дотичній площині – всі прямі, що лежать у нормальній площині і проходять через точку М, називаютьсявекторами нормалей до кривої в даній точці,один з яких перпендикулярний дотичній площині і називається нормаллю до поверхні в даній точці;
-дотичну площину кривоїS, що проходить через три нескінченно близькі точки кривої, вектор нормалі, що лежить на перетині нормальної і торкається площин називаєтьсяголовною нормаллю кривої ;
-бінормаль - нормаль, перпендикулярну до площини, що стикається;
Таким чином можна відзначити, що будь-яка плоска крива (отже, і плоский переріз на поверхні) має одну площину, що стикається. У геодезичної лінії у кожній її точці головна нормаль кривої збігається з нормаллю до поверхні у цій точці. Для довільних кривих на поверхнях точки, в яких ці два вектори збігаються, називають геодезичними точками. Якщо на поверхні еліпсоїда обертання проведено нормальне в даній точці переріз, то вона також геодезична, як геодезичною буде точка, що знаходиться на продовженні нормального перерізу до точки, що лежить на одній паралелі з даною. У центральних перерізів еліпсоїда екваторіальні точки – геодезичні. Таким чином можна відзначити, що будь-який нормальний переріз земного еліпсоїда має принаймні дві геодезичні точки, видалення яких буде тим більше, чим ближче площина перетину проходить від його центру.
Якщо на поверхні еліпсоїда (рис. 4. 2) маємо дві точки А і В, то між ними можна провести як геодезичну лінію (одну єдину), так і нормальну як в одній, так і в іншій точках перерізу. Якщо ці точки не лежать на одній паралелі ( ВА ≠ ВВ ), що найчастіше може мати місце на практиці, то отримуємо два взаємно нормальні перерізи AaB і BbA, площині яких пройдуть: для прямого нормального перерізу в точці А -через точку і нормаль АnA , для прямого нормального перерізу у точці У – через точку А нормаль BnB . Ці перерізи не співпадуть один з одним тому, що нормалі до поверхні еліпсоїда АnA і BnB в даних точках не лежать в одній площині, а утворюють прямі, що схрещуються. Це видно з малюнка 4. 2.
Рівняння будь-якої поверхні можна записати у векторній формі
,(4.1)
 |
підставляючи сюди вирази для координат ( 3. 14 ) або ( 3. 15 ) для еліпсоїда отримаємо рівняння його поверхні функції параметричних координат:
(4.2)
Для будь-якої кривої на поверхні можемо записати рівняння у диференціальній формі, яке виражає лінійний елемент поверхні.
,
або в параметричних координатах
.(4.3)
Рівняння ( 4. 3 ) носить назву першої основної квадратичної форми Гауса для будь-якої поверхні, коефіцієнти якоїE, F, Gмають вирази у приватних похідних:
(4.4)
Для ортогональної координатної сітки на поверхні еліпсоїда (меридіанів і паралелей ) завжди має місцеF = 0, в чому нескладно переконатися, якщо мати на увазі рівняння ( 3. 14 ) або ( 3. 15 ), з яких, крім того, отримуємо вирази
.(4.5)
З огляду на це лінійний елемент поверхні еліпсоїда має вираз.
,(4.6)
тут прийнято позначення коефіцієнтів першої квадратичної форми для еліпсоїдаE = M 2 , G = r 2та їх вирази випливають з рівнянь ( 4. 5 ). Геометричний зміст цих коефіцієнтів пояснимо дещо далі.
Як уже зазначалося раніше, координатними лініями на поверхні земного еліпсоїда є меридіани та паралелі, рівняння якихможуть бути отримані з рівняння ( 4. 6 ), враховуючи ( 4. 5 ). ВважаючиL = const,dL = 0, отримаємо рівняння меридіана у функції геодезичної та наведеної широти
(4.7)
І для паралелі отримаємо аналогічно за умовиB = const, dB = 0
(4.8)
У виразі ( 4. 7 ) і надалі ми використовуємо прийняте геодезії позначення функціїV. Ця величина зветься другий основний функції широти і має такі вирази.
(4.9)
Порівнюючи вирази ( 4. 6 ), ( 4. 7 ) і ( 4. 8 ) , помічаємо, що величинаMвиражає радіус кривизни меридіана, аr- паралелі.
Враховуючи викладене, зауважимо, що меридіани та паралелі земного еліпсоїда є плоскими перерізами. При цьому меридіани - нормальні перерізи, що складаються з геодезичних точок, отже, вони є також геодезичними лініями. Зауважимо, що геодезичні лінії еліпсоїда, що проходять у довільному азимуті, не є плоскими кривими. Меридіан є винятком. Паралелі земного еліпсоїда є похилими до нормалі плоскими перерізами. Більше того, виражаючи радіус паралеліrчерез радіус першого вертикалуN( 3. 16 ), помічаємо кут нахилу площини паралелі до нормалі , що лежить у площині першого вертикалу, що дорівнює геодезичній широтіВ.
(4.10)
При цьому рівняння виду ( 4. 10 ) встановлює зв'язок між радіусами кривизни похилих і нормальних плоских перерізів і виражає теорему Менье .
Можна відзначити, що паралель найбільшого радіусу (екватор) є нормальним перетином та геодезичною лінією.
У теорії поверхонь координатні сітки у вигляді меридіанів та паралелей, коли одна координатналінія є геодезичною, а інша негеодезична, називають напівгеодезичними.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно