Король математиків
Цікаво відзначити, що у Казанському університеті Бартельс отримав кафедру чистої математики. У 1811 році він почав займатися з Лобачевським у себе вдома як з особливо обдарованим студентом. При цьому професор розбирав зі своїм талановитим учнем "Арифметичні дослідження" Гауса.
Дивовижна гра долі! Усі три творці неевклідової геометрії були пов'язані невидимими нитками: Лобачевський із Гауссом — через Бартельса. Янош Больяй з королем математики через свого батька Фаркаша.
У 1788 році Карл Гаусс вступає до гімназії. Він із насолодою вивчає іноземні мови (математика в гімназії не викладалася), досконало опановує латину. Згодом більшість його робіт було написано цією мовою.
Мабуть, у гімназії Гаусс неодноразово замислювався про своє майбутнє. Він розумів, звичайно, що його батьки не мають коштів для того, щоб дати йому вищу освіту. На щастя, його юний друг і покровитель Бартельс був знайомий із деякими впливовими людьми. Ці люди, познайомившись із Гауссом, були вражені його здібностями та начитаністю. Незабаром про нього дізнаються при дворі. 1791 року його представляють герцогу Браунгшвейгському Карлу Вільгельму Фердинанду, якому хлопчик дуже сподобався. В результаті Гаус отримує можливість вступити до Карлового училища в Браунгшвейзі, в якому навчався три роки. У цей час він вивчив ряд робіт Ньютона, Ейлера, Лагранжа, почав свої знамениті дослідження з вищої арифметики. І якби Гаусс не створив нічого, крім праць з арифметики, його ім'я все одно назавжди було б вписано в історію наук.
Приблизно в цей час молодому математику вдалося довести теорему, яку він назвав «золотою». Нині ця теорема називається законом взаємності квадратичних відрахувань. Сенс теореми полягає внаступному.
Якщо різниця чисел a і b ділиться націло на число m, то кажуть, що a і b можна порівняти за модулем m. Це записується так: a ≡ b (mod m ), наприклад, 37 ≡ 5(mod 4), тому що різниця 37 - 5 ділиться на 4. Нехай далі x - невідоме число, а r - відоме. Якщо є таке число x , що x 2 ≡ r (mod m ), порівняння можна, інакше неразрешимо. Тепер можна сформулювати доведену Гаусом пропозицію. Нехай дана пара порівнянь x 2 q (mod p) і x 2 p (mod q), в яких p і q — прості числа. Обидва порівняння можна розв'язати або обидва нерозв'язні у всіх випадках, крім одного, коли p і q при розподілі на 4 дають у залишку 3.
Підтвердження закону взаємності квадратичних відрахувань стало серйозним досягненням Гаусса. Адже цього не вдалося зробити таким блискучим математикам, як Ейлер та Лежандр.
У 1795 році Карл Гаусс вступив до знаменитого Геттінгенського університету, хоча він ще й не вирішив остаточно, чи зробити вибір на користь математики або ж зайнятися філологією. І лише за місяць до свого 19-річчя Гаус зробив остаточний вибір на користь математики.
Вибір Гауса був зумовлений вдалим рішенням цікавого математичного завдання. Займаючись відшуканням коренів рівняння х n - 1 = 0, він несподівано виявив зв'язок між цим завданням і розподілом кола на рівні частини і довів, що правильний сімнадцятикутник можна вписати в коло за допомогою циркуля та лінійки. Для Гауса це відкриття мало таке блискуче значення, що згодом він заповідав вигравірувати на своєму надгробному пам'ятнику правильний сімнадцятикутник, вписаний у коло. Воля вченого була виконана, щоправда, на могильному камені цього малюнка немає. Однак пам'ятник, споруджений Гауссом у Браунгшвейзі, стоїть на ледь помітному сімнадцятикутномупостаменті.
У 1798 році Гаусс закінчив університет і повернувся до рідного Браунгшвейгу. На допомогу йому знову прийшов герцог Карл, який подарував молодому вченому стипендію для продовження наукових досліджень.
Інтенсивність наукової діяльності Гауса вражає уяву. У 1799 він отримав ступінь доктора за дисертацію, присвячену доказу так званої основної теореми алгебри.
Основна теорема алгебри читається так:
рівняння алгебри n-го ступеня має рівно n дійсних і комплексних коренів (комплексним числом називається вираз виду a+ bi, де a і b — дійсні числа, а i — деякий символ, такий, що i 2 = –1).
Ще 1629 року французький математик Альберт Жирар висловив припущення, що рівняння n-го ступеня має n коріння. Згодом цю теорему довів Даламбер, та його доказ мало не суто алгебраїчний характер, у ньому використовувалися положення математичного аналізу. Суто алгебраїчне підтвердження було знайдено Гаусом.
Протягом кількох років Гаус наполегливо працював над приведенням у систему своїх досліджень з теорії чисел. Підсумком цієї роботи стала публікація у 1801 році великої праці під назвою «Арифметичні дослідження». У своєму монументальному дослідженні Гаусс торкнувся також питань, якими вже займалися інші знамениті математики. Візьмемо, наприклад, відомий результат П'єра Ферма (1601 - 1665): будь-яке просте число виду 4 n +1 єдиним чином представимо у вигляді суми двох квадратів. Ферма довів цю пропозицію дуже громіздким способом. Гаус провів доказ значно витонченіше за допомогою так званих двійчастих квадратичних форм.
До 1820 центр інтересів вченого перемістився зовсім в іншу область. Цевідбулося так. За дорученням уряду Ганноверського королівства Гаус почав займатися геодезичними вимірами та дослідженнями. (Геодезія — наука, яка, зокрема, займається вимірами на земній поверхні для відображення її на планах і картах.) Цікаво, що Гаусс удосконалив методи геодезичних вимірів, а також інструменти, що застосовуються при цьому. У 1828 він запропонував прийняти за математичну поверхню Землі середній рівень моря.
Нехай на деякій поверхні дана точка, координати якої в просторі (x, y, z). Нехай далі (x + x, y + y, z + z) - координати нескінченно близької до неї точки. Квадрат відстані між цими двома точками назвемо квадратичною формою і позначимо d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 . Далі на заданій поверхні введемо криволінійні координати (за зразком широт та довгот на сфері). Тоді квадратична форма запишеться так: ds2 = Edp2+Fdpdq+Gdq2, де E, F, G - функції від p і q. Досліджуючи властивості поверхні, незалежні від способу вибору криволінійних координат, Гаус довів, що властивості внутрішньої геометрії поверхні (відстань, кути та ін.) залежать від функцій E, F, G. Звідси він зробив висновок, що достатньо задати на поверхні квадратичну форму, щоб вивести з неї всі властивості поверхні. Зокрема, можна дізнатися, чи є поверхня «кривою» чи ні. Гаус запропонував числову характеристику міри викривлення поверхні.
Цікавий такий факт. У чорнових записах Гаусса виявили згадку поверхні обертання постійної негативної кривизни. Згодом ця поверхня обертання одержала назву псевдосфери. Італійський математик Бельтрамі показав, що її внутрішня геометрія збігається з обмеженою частиною площини,якою справедлива геометрія Лобачевського. Таким чином, якби Гаус, який, як ми знаємо, займався дослідженням неевклідової геометрії, звернув увагу на цей дивовижний факт, то несуперечність нової геометрії була б встановлена значно раніше.
Ми підійшли тепер упритул до питання про оцінку місця, яке займає Гаус в історії відкриття неевклідової геометрії.
Привертає увагу те, що Гаусс не залишив жодного запису в науковому щоденнику, присвяченої питанню про доказ п'ятого постулату Евкліда. На цій підставі іноді робиться висновок, що вчений не цікавився постулатом у той час, коли він вів щоденник. Однак записи робилися їм про відкриття або результати обчислень. Швидше за все, Гаусс розмірковував про це, але жодних записів не робив. Втім, про п'ятий постулат вчений неодноразово писав у своїх листах.
У 1813 році Гаусс написав одному зі своїх друзів про те, що в теорії паралельних математика досі не випередила Евкліда. В іншому листі, що відноситься до 1816, вчений висловлює цю ж думку. Отже, до 1816 року роздуми Гаусса, мабуть, ще просунули його вперед.
Отже, можна дійти невтішного висновку, що до 1818 року Гаусс опанував секретом недоказності п'ятого постулату і розумів можливість існування двох різних геометрій, хоча, як і раніше, ніяких докладних і систематичних записів не робив.
1. Якщо припустити, що сума кутів трикутника менша за 180°, то це призводить до побудови геометрії, яка відрізняється від евклідової. Ця геометрія є абсолютно послідовною, і в ній можна вирішити будь-яке завдання. (Читач, очевидно, пам'ятає, що пропозиція про рівність суми кутів трикутника 180° є еквівалентом п'ятого постулату.)
2. Положення нової геометріїмістять багато парадоксального. Але під час роздумів вони не містять нічого неможливого.
3. У новій геометрії важко визначити деяку постійну.
Значення k - це та є постійна, про яку говорить Гаусс. Легко бачити, що з необмеженому зростанні k П(p) = π /2).
4. Спроби знайти в неевклідовій геометрії протиріччя виявляються безплідними.
На закінчення Гаусс зазначає, що вченим відомо дуже мало про сутність простору і що ми не можемо змішувати те, що нам видається неприродним, з абсолютно неможливим.
Як відомо, Гаус лише в 1831 році почав приводити в систему свої думки та уривчасті записи з неевклідової геометрії. Його нотатки було знайдено в архіві вченого після його смерті та надруковано у 1900 році у восьмому томі «Збори творів К. Гауса».
Карл Фрідріх Гаус почав творити на стику двох століть. За широтою наукових інтересів, новизною та оригінальністю своїх ідей він заслужено називається великим математиком XVIII — XIX століть. При цьому в ньому разюче поєднувалося захоплення чистою математикою та прикладними питаннями.
Стиль знаменитого математика не дуже легкий для сприйняття. І все-таки цю промову корисно прочитати. Ви чіткіше уявите собі безкорисливу людину обов'язку, яким був завжди Лобачевський, оціните його величезну начитаність, широту інтересів. Ви отримаєте можливість хоча б певною мірою долучитися до безцінної спадщини великого математика.