Krivosheev_Book_DSA - Стор 11
Підсумовування (4.20) проводиться від 1 до М , так як
власні вектори v 1 . v M , звані головними власними векторами , натягнута та сама область підпростору сигналу , як і вектори сигналу s 1 , . s M. Це означає ,
що будь-який головний власний вектор має бути представлений у вигляді деякої лінійної комбінації векторів сигналу
v i = ? β ik s k ,
Подання одиничної матриці через власні вектори автокореляційної матриці з урахуванням їхньої ортонормальності можна записати у вигляді наступного співвідношення:
I = å v i v i H . (4.21) i =1
Підставляючи (4.20) і (4.21) у вираз (4.17), отримуємо розкладання автокореляційної матриці за власними значеннями:
v 1 , K , v M , а підпростір шуму - на вектори v M +1 , K , v p +1 , причому власні значення , що відповідають шумовим векторам , однакові та рівні дисперсії білого шуму ρ w , а власні значення , що відповідають головним власним векторам складені як з потужності сигналу, так і з потужності шуму.
Розкладання (4.22) автокореляційної матриці можна двома способами використовуватиме отримання спектральних оцінок чи , точніше кажучи , поліпшених оцінок частоти . По - перше , збереження лише інформації , відповідної власним векторам підпростору сигналу , т . е., інакше кажучи, формування для матриць R p апроксимації зниженого рангу, ефективно сприяє збільшенню відношення сигнал / шум, оскільки усуває внесок потужності компонент підпростору шуму. Цей факт є основою процедур оцінок частоти в підпросторі сигналу. З іншого боку ,
оскільки власні вектори ортогональні і головні власні вектори натягнуто той самий підпростір ,що й на вектори сигналу, отже, вектори сигналу ортогональні всім векторам у підпросторі шуму, включаючи будь-яку їхню лінійну комбінацію. Ця властивість покладено в основу процедур оцінок частоти в просторі шуму.
Ефективність поділу простору на шумове та сигнальне залежить від того,
наскільки власні значення власних векторів підпростору сигналу більші
власних значень векторів підпростору шуму. З цього факту випливає критерій застосування : λ i > w w . При ? Для випадку однієї синусоїди
результати розкладання такі, як і p , де P - потужність комплексної синусоїди , p - розмірність автокореляційної матриці . При цьому критерій застосування буде мати вигляд :
або у вигляді умови на відношення сигнал/шум:
Формула (4.24) показує, що методи, засновані на процедурі розкладання на власні вектори, повинні працювати і за низьких відносин сигнал/шум, включаючи випадок шуму, що перевищує за потужністю сигнал.
У [1] показано, що ідеї, викладені в цьому розділі, можна узагальнити на так звані ковараційні та модифіковані коварійні матриці даних, що використовуються в
власні значення аналогічні властивостям такого розкладання для автокореляційної матриці. На головні власні вектори матриці даних здебільшого натягнуто підпростір сигналу, а сингулярні числа, що відповідають цим головним власним векторам, найчастіше мають значення, що перевищують значеннясингулярних чисел, що відповідають підпростору шуму. Отже, сингулярні числа, що визначаються в результаті застосування до матриці даних процедури РКЛ, будуть становити основу, необхідну для поділу власних векторів на вектори, що найбільш ймовірно належать підпростор сигналу і шуму.
4.3. Методи оцінювання частоти у підпросторі шуму
Як зазначалося вище, процедури оцінки частоти в підпросторі шуму базуються на тому, що будь-який сигнальний вектор автокореляційної матриці або матриці даних ортогональний будь-якому вектору в підпросторі шуму. Оскільки підпростір шуму
натягнуто на вектори p +1 то будь-який сигнальний вектор виявляється
ортогональний будь-якої лінійної комбінації власних векторів підпростору шуму т . е.: