Квадратична інтерполяція

Якщо інтерполююча функція - багаточлен другого порядку, то інтерполяція називається квадратичною. Іноді її називають параболічною на відрізку [xi-1,xi+1], оскільки квадратний тричлен - це парабола, де - невідомі. Для визначення необхідно умова проходження параболи через три точки: .

Ці умови запишемо у вигляді:

Розв'язавши систему, отримаємо значення , отже, і рівняння параболи дільниці [xi-1,xi+1]. Рівняння парабол на різних відрізках [xi-1,xi+1] різні. . Квадратична інтерполяція є локальною інтерполяцією.

Приклад. Знайти наближене значення функції прих= 0,32, якщо відома таблиця її значень, за допомогою лінійної та квадратичної інтерполяції.

Рішення.

1) За допомогою лінійної інтерполяції.

х= 0,32 знаходиться між вузламиxi-1 = 0,30 таxi= 0,40. Знайдемо і:

тоді рівняння прямої, що з'єднує дані вузли, має вигляд .

Знайдемо значення функції у заданій точці: .

2) За допомогою квадратичної інтерполяції.

Найближчими дох= 0,32 є вузлиxi-1 = 0,15,xi= 0,30,xi+1 = 0,40. Складемо систему для знаходження коефіцієнтів параболи, що проходить через дані вузли:

Вирішивши систему, отримаємо, що . Підставимо числа в рівняння параболи:

.

Знайдемо значення функції у заданій точці: .

Багаточлен Лагранжа

Прикладом глобальної інтерполяції є побудова інтерполяційного багаточлена, єдиного для всього відрізка [x0,xn], графік якого проходить через всі задані таблиці точки. Це багаточлен Лагранжа. Його рівняння має вигляд:

- інтерполяційний багаточлен Лагранжа.

Оцінкапохибки заміни функції багаточленом Лагранжа:

де .

Рішення попереднього прикладу за допомогою багаточлена Лагранжа.

= Розкриємо дужки і отримаємо многочлен третього ступеня.

Знайдемо значення функції у точціх= 0,32:

= 3, 89.

---